Gebruikersavatar
Professor Puntje
Artikelen: 0
Berichten: 8.116
Lid geworden op: vr 23 okt 2015, 23:02

Re: Lagrangiaan

Volgens mij hangen \(\theta\), \(\dot{\theta}\), \(\omega\) en \( t \) allemaal met elkaar samen. Toch worden sommige daarvan als onafhankelijke variabelen beschouwd en anderen weer als afhankelijke variabelen. Op grond waarvan dat is is me een groot raadsel.
Gebruikersavatar
Xilvo
Moderator
Artikelen: 0
Berichten: 11.327
Lid geworden op: vr 30 mar 2018, 16:51

Re: Lagrangiaan

Samenhangen is iets anders als afhankelijk zijn. Je kunt de ene niet in de andere uitdrukken.

Misschien is het makkelijker om, bijvoorbeeld, met \(\phi=\omega t\) en \(\dot{\phi}=\omega\) te werken. Dan is de overeenkomst met \(\theta\) en \(\dot{\theta}\) duidelijker.
Gebruikersavatar
Professor Puntje
Artikelen: 0
Berichten: 8.116
Lid geworden op: vr 23 okt 2015, 23:02

Re: Lagrangiaan

Ik heb: \( \dot{\phi} = \dot{\omega} t + \omega \).
Gebruikersavatar
Xilvo
Moderator
Artikelen: 0
Berichten: 11.327
Lid geworden op: vr 30 mar 2018, 16:51

Re: Lagrangiaan

Professor Puntje schreef: wo 05 feb 2025, 10:54 Ik heb: \( \dot{\phi} = \dot{\omega} t + \omega \).
Waarom?
Gebruikersavatar
Professor Puntje
Artikelen: 0
Berichten: 8.116
Lid geworden op: vr 23 okt 2015, 23:02

Re: Lagrangiaan

Productregel. Ik neem aan dat het vliegwiel (ietsjes) energie van de slinger opneemt en weer afgeeft. Pas aan het eind van de afleiding bekijk ik wat er voor een zeer zwaar vliegwiel verwaarloosd mag worden.
Gebruikersavatar
Xilvo
Moderator
Artikelen: 0
Berichten: 11.327
Lid geworden op: vr 30 mar 2018, 16:51

Re: Lagrangiaan

Professor Puntje schreef: wo 05 feb 2025, 11:08 Productregel. Ik neem aan dat het vliegwiel (ietsjes) energie van de slinger opneemt en weer afgeeft. Pas aan het eind van de afleiding bekijk ik wat er voor een zeer zwaar vliegwiel verwaarloosd mag worden.
OK, dat klopt. Maar dat doet er niet toe als je simpelweg verder werkt met \(\phi\) en \(\dot{\phi}\)
Professor Puntje schreef: wo 05 feb 2025, 11:08 Ik neem aan dat het vliegwiel (ietsjes) energie van de slinger opneemt en weer afgeeft. Pas aan het eind van de afleiding bekijk ik wat er voor een zeer zwaar vliegwiel verwaarloosd mag worden.
Die energie mag klein zijn t.o.v. de energie van het vliegwiel, die kan aanzienlijk zijn voor de slinger. Die energie mag je niet verwaarlozen als je uitgaat voor een systeem waarin behoud van energie geldt.
Gebruikersavatar
Professor Puntje
Artikelen: 0
Berichten: 8.116
Lid geworden op: vr 23 okt 2015, 23:02

Re: Lagrangiaan

Ik zal mijn afleiding nog eens overdoen en daarbij preciezer aangeven welke stappen er gedaan worden. Er zitten nu nog wat slordigheidjes in.
Gebruikersavatar
wnvl1
Artikelen: 0
Berichten: 3.318
Lid geworden op: di 20 jul 2021, 21:43

Re: Lagrangiaan

Ik had gisteren ook de initiële vraag eens gepost op physicsforums.
Het lijkt erop dat onze initiële methode met de Lagrangiaan toch juist is.
Daarom ook dat we via beide wegen (krachten en versnellingen vs Lagrangiaan) dezelfde oplossing uitkomen.
Gebruikersavatar
wnvl1
Artikelen: 0
Berichten: 3.318
Lid geworden op: di 20 jul 2021, 21:43

Re: Lagrangiaan

Deze is ook interessant. Uit de Lagrangiaan kan je de Hamiltoniaan berekenen. Hamiltoniaan en Lagrangiaan zijn gelinkt via een Legendre transformatie. Uit het tijdafhankelijk zijn van de Hamiltoniaan zie je dat er geen behoud van energie is, maar dat betekent niet dat je de oefening niet kan oplossen via de Lagrangiaan.
Gebruikersavatar
Professor Puntje
Artikelen: 0
Berichten: 8.116
Lid geworden op: vr 23 okt 2015, 23:02

Re: Lagrangiaan

schets
Laat:

\( \omega(t) = \dot{\phi} = \omega_0 + \Delta \omega(t) \)

Met:

\( \lim\limits_{I \rightarrow \infty} \Delta \omega(t) = 0 \) voor alle t.

Dan hebben we:

\( \phi(t) = \int\limits_0^t \omega(\tau) \mathrm{d}\tau \)

\( \phi(t) = \int\limits_0^t \omega_0 + \Delta \omega(\tau) \,\, \mathrm{d}\tau \)

\( \phi(t) = \int\limits_0^t \omega_0 \, \mathrm{d}\tau \,\, + \,\, \int\limits_0^t \Delta \omega(\tau) \, \mathrm{d}\tau \)

\( \phi(t) = \omega_0 t \,\, + \,\, \int\limits_0^t \Delta \omega(\tau) \, \mathrm{d}\tau \)

Schijf \( \int\limits_0^t \Delta \omega(\tau) \, \mathrm{d}\tau \) als \( \Delta \phi(t) \) zodat:

\( x_A = a \cos(\omega t + \Delta \phi(t)) \)

\( y_A = a \sin(\omega t + \Delta \phi(t)) \)


\( x_m = x_A + l \sin\theta \)

\( x_m = a \cos(\omega t + \Delta \phi(t)) + l \sin\theta \)


\( y_m = y_A - l \cos\theta \)

\( y_m = a \sin(\omega t + \Delta \phi(t)) - l \cos\theta \)


\( \dot{x}_m = -a (\omega + \Delta \omega(t)) \sin(\omega t + \Delta \phi(t)) + l \dot{\theta} \cos\theta \)

\( \dot{x}_m^2 = a^2 (\omega + \Delta \omega(t))^2 \sin^2(\omega t + \Delta \phi(t)) - 2 a (\omega + \Delta \omega(t)) \sin(\omega t + \Delta \phi(t)) l \dot{\theta} \cos\theta + l^2 \dot{\theta}^2 \cos^2\theta \)


\( \dot{y}_m = a (\omega + \Delta \omega(t)) \cos(\omega t + \Delta \phi(t)) + l \dot{\theta} \sin\theta \)

\( \dot{y}_m^2 = a^2 (\omega + \Delta \omega(t))^2 \cos^2(\omega t + \Delta \phi(t)) + 2 a (\omega + \Delta \omega(t)) \cos(\omega t + \Delta \phi(t)) l \dot{\theta} \sin\theta + l^2 \dot{\theta}^2 \sin^2\theta \)


\( \dot{x}_m^2 + \dot{y}_m^2 = a^2 (\omega + \Delta \omega(t))^2 + 2 a (\omega + \Delta \omega(t)) l \dot{\theta} ( \cos(\omega t + \Delta \phi(t)) \sin\theta - \sin(\omega t + \Delta \phi(t)) \cos\theta ) + 2 l^2 \dot{\theta}^2 \)

\( \dot{x}_m^2 + \dot{y}_m^2 = a^2 (\omega + \Delta \omega(t))^2 + 2 a (\omega + \Delta \omega(t)) l \dot{\theta} ( \sin(\theta) \cos(\omega t + \Delta \phi(t)) - \cos(\theta) \sin(\omega t + \Delta \phi(t)) ) + 2 l^2 \dot{\theta}^2 \)

\( \dot{x}_m^2 + \dot{y}_m^2 = a^2 (\omega + \Delta \omega(t))^2 + 2 a (\omega + \Delta \omega(t)) l \dot{\theta} \sin(\theta - \omega t - \Delta \phi(t)) + 2 l^2 \dot{\theta}^2 \)


\( T = \frac{1}{2} \mathrm{m} (\dot{x}_m^2 + \dot{y}_m^2) + \frac{1}{2} \mathrm{I} \omega^2 \)

\( T = \frac{1}{2} \mathrm{m} ( a^2 (\omega + \Delta \omega(t))^2 + 2 a (\omega + \Delta \omega(t)) l \dot{\theta} \sin(\theta - \omega t - \Delta \phi(t)) + 2 l^2 \dot{\theta}^2) + \frac{1}{2} \mathrm{I} \omega^2 \)


\( V = \mathrm{m} \mathrm{g} \mathrm{a} \sin(\omega_0 t + \Delta \phi(t)) - \mathrm{m} \mathrm{g} \mathrm{l} \cos \theta \)


\( \mathcal{L} = T - V \)

\( \mathcal{L} = \frac{1}{2} \mathrm{m} ( a^2 (\omega + \Delta \omega(t))^2 + 2 a (\omega + \Delta \omega(t)) l \dot{\theta} \sin(\theta - \omega t - \Delta \phi(t)) + 2 l^2 \dot{\theta}^2) + \frac{1}{2} \mathrm{I} \omega^2 - \mathrm{m} \mathrm{g} \mathrm{a} \sin(\omega_0 t + \Delta \phi(t)) + \mathrm{m} \mathrm{g} \mathrm{l} \cos \theta \)


Hm - ik heb eigenlijk weinig plezier in zulke berekeningen...
Gebruikersavatar
wnvl1
Artikelen: 0
Berichten: 3.318
Lid geworden op: di 20 jul 2021, 21:43

Re: Lagrangiaan

Het is ook heel lang uitgeschreven. Ik snap de noodzaak niet echt om die \( \Delta\)'s in te voeren.
Gebruikersavatar
Professor Puntje
Artikelen: 0
Berichten: 8.116
Lid geworden op: vr 23 okt 2015, 23:02

Re: Lagrangiaan

Het idee was om aan te tonen (als dat inderdaad klopt) dat je met een vliegwiel van voldoende grote massa bij benadering dezelfde uitkomst krijgt als met een extern aangedreven roterende schijf. Dat is dan een systeem met energiebehoud. Want het is me nog niet goed duidelijk wanneer de lagrangiaan nu wel of niet kan worden toegepast.
Gebruikersavatar
wnvl1
Artikelen: 0
Berichten: 3.318
Lid geworden op: di 20 jul 2021, 21:43

Re: Lagrangiaan

Voeg gewoon \(\frac{I\dot{\phi}^2}{2}\) toe aan de Lagrangiaan zoals die al eerder is berekend door ukster.
Dat volstaat.
Gebruikersavatar
wnvl1
Artikelen: 0
Berichten: 3.318
Lid geworden op: di 20 jul 2021, 21:43

Re: Lagrangiaan

Misschien nog een toevoeging. Het systeem heeft twee vrijheidsgraden \(\theta\) en \(\phi\). Een van de 2 vrijheidsgraden een opgelegde beweging geven mag. Dat is niet hetzelfde als een niet-conservatieve kracht invoeren. Daar zat m.i. het misverstand in dit topic.
Gebruikersavatar
wnvl1
Artikelen: 0
Berichten: 3.318
Lid geworden op: di 20 jul 2021, 21:43

Re: Lagrangiaan

wnvl1 schreef: di 04 feb 2025, 20:13
Xilvo schreef: di 04 feb 2025, 19:52 Eens kijken, wat gebeurt er als ik \(L=0\) kies?

\(m=1\), die laat ik verder weg.

De hoek die de lijn van het middelpunt van de schijf naar de massa maakt is \(\phi=\omega t\)
\(x=a \cos \phi\)
\(y=a \sin \phi\)
\(\dot{x}=-a \dot{\phi} \sin \phi\)
\(\dot{y}=a \dot{\phi} \cos \phi\)

\(T=\frac{1}{2} a^2 \dot{\phi}^2\)
\(V=g y=g a \sin \phi \)
\(L=T-V\)

\(\frac{d}{dt}\frac{\delta L}{\delta \dot{\phi}}-\frac{\delta L}{\delta \phi} =0\)

\(\frac{d a^2 \dot{\phi}}{dt}-g a \cos \phi =0=a^2 \ddot{\phi}-ga \cos \phi=-ga \cos \phi\)

Kortom, de methode leidt hier tot een onjuist resultaat, als ik geen vergissingen maakte.
Je maakt geen vergissing. Lagrange klopt niet meer.
Ik heb nu ook door wat er hier misloopt. Je hebt nu nog maar een systeem met 1 vrijheidsgraad. Je gaat dit systeem nu een roterende beweging opleggen. Dat mag niet als je nog maar één vrijheidsgraad hebt. Dan ga je wel een niet-conservatieve kracht moeten invoeren.

Terug naar “Sciencetalk café”