Scalairen, vectoren en tensoren

[HansH]

Juist - mijn posts zijn ook niet beledigend bedoeld, maar enkel als beschrijving van de praktijk.

ok point taken. ik heb het afgesplitste topic verzocht om een andere naam te geven zodat we misschien daar nog iets zinvols mee kunnen.

[wnvl1]

Op zich ben ik het wel eens.

Gisteren vond je tensoren nog makkelijk.
Dus waar ben je het nu mee eens?

Het gaat toch over tensoren, die allerlei ingewikkelde grondslagen zouden hebben en waarzonder je ze nooit echt zou kunnen begrijpen.

En een ogenschijnlijke circulaire definitie.

Oei weer verkeerd begrepen. Ik bedoelde ik ben het eens met het belang van theoretische onderbouwing in het algemeen. Ik heb vandaag nog altijd geen enkel probleem met een simpele definitie van tensoren in boeken zoals Carroll en Schutz. Dat is wat ik al een paar keer heb aangegeven.

[HansH]

Het ging toch over tensoren en hun onmogelijkheid te begrijpen of te definiëren?

Ookal weet ik niet of ik er direct wat aan heb, zoveel discussie erover werkt al zo aanstekelijk dat ik toch wel graag wil weten hoe die dingen werken en waarom ze dan zo belangrijk zijn in bv ART.
dus misschien heeft iemand een link waar het wel netjes in de juiste volgorde staat uitgelegd.
even naar de link gekeken die pp gaf; https://casa.win.tue.nl/education/AntWi ... t-2004.pdf
maar ja op blz1 begint het al weer met

definitie van covariante componenten. ik denk dan gelijk; waarom begin je niet eerst eens te vertellen wat het doel is van covariante componenten en de samenhan met tensors. dus voor mij lijkt het alweer alles in de verkeerde volgorde uitleggen dus heb ik gelijk op pagina 1 al weer het idee dat ik wat mis. Maar goed ik heb het ook nog niet goed bekeken.

[wnvl1]

Een voorbeeld van een behandeling van tensoren op een technisch instituut die mijns inziens wiskundig geheel voldoet is:
https://casa.win.tue.nl/education/AntWi ... t-2004.pdf
Dus het komt hier en daar wel voor dat er in een hogere technische opleiding afdoende aandacht is voor wiskundige grondslagen.

Goede tekst, maar dat is moeilijk te verwerken voor een student bij aanvang van een cursus ART. Ik heb die tekst grotendeels gelezen toen die hier op het forum verscheen om alles eens gestructureerd bij mekaar te zien staan, maar dat was op een moment dat ik al heel wat van tensoren wist.
Die tekst gaat trouwens over veel meer dan gewoon tensoren, het is de hele calculus met tensoren die er opgebouwd wordt. Dat is allemaal niet direct nodig als je begint. Beter Schutz lezen en herlezen en je mag echt oefeningen over slagen. Dingen uit Schutz door AI halen en vragen om eens anders te formuleren kan ook heel veel helpen.

[wnvl1]

ik denk dan gelijk; waarom begin je niet eerst eens te vertellen wat het doel is van covariante componenten en de samenhan met tensors. dus voor mij lijkt het alweer alles in de verkeerde volgorde uitleggen dus heb ik gelijk op pagina 1 al weer het idee dat ik wat mis. Maar goed ik heb het ook nog niet goed bekeken.

Daarom dat ik ook zei: goede tekst, maar niet geschikt om vanaf nul mee te beginnen. In boeken als Schutz en Carroll wordt dat wel vanaf nul opgebouwd.

[Professor Puntje]

@PP

Genoeg uni's om even te kijken.

Het ging toch over tensoren en hun onmogelijkheid te begrijpen of te definiëren?

Op de uni heb ik ook twee jaar gezeten, en dat was geen succes. Daar werden de tensoren toen ook niet fatsoenlijk gedefinieerd. Als iedereen om je heen geen probleem ziet in een gammele definitie is het niet zo makkelijk om uit te vinden hoe de vork werkelijk in steel zit. Let wel: toen ik studeerde bestond er nog geen internet. Gelukkig ben ik heel eigenwijs en zoek ik desnoods jaren lang naar een antwoord. Zo vond ik - zoals ik eerder in dit topic ook al meldde - uiteindelijk in geavanceerde wiskundeboeken definities die wel wiskundig correct zijn. Maar vijv zal later ook wel met zulke definities komen, want daar is verder niets geheimzinnigs aan. (Zulke definities vind je ook op de Wikipedia.) Daar kunnen we dus gewoon op wachten.

[HansH]

ik denk dan gelijk; waarom begin je niet eerst eens te vertellen wat het doel is van covariante componenten en de samenhan met tensors. dus voor mij lijkt het alweer alles in de verkeerde volgorde uitleggen dus heb ik gelijk op pagina 1 al weer het idee dat ik wat mis. Maar goed ik heb het ook nog niet goed bekeken.

Daarom dat ik ook zei: goede tekst, maar niet geschikt om vanaf nul mee te beginnen. In boeken als Schutz en Carroll wordt dat wel vanaf nul opgebouwd.

ok misschien goed om daarmee te starten. maar even dit filmpje dan;

Dat is goed te volgen en bouwt mooi op vanaf vectoren. Vanaf t=10:14 geeft hij de link aan met krachten. Dus kun je dat effect van krachten dus blijkbaar verder opsplitsen op basis van een tensor met voor zowel x,y en z componment een x,y en z kracht dus geeft dan 9 onafhankelijke sub structuren. maar vanaf 10:30 begin ik los te raken omdat ik dan geen link meer zie met een toepassing om te kunnen begrijpen wat het nut is en hoe het dan werkt.

[Professor Puntje]

@HH Pas aan het eind van dat filmpje wordt uitgelegd wat tensoren echt zijn. Als je dat laatste stukje niet volgt dan werkt dat filmpje vooral verwarrend omdat je tensoren dan toch weer als multidimensionale matrices gaat zien. Heb je dat boek van Schutz al bekeken? Daar bestaat van mij nog een topic over. Als je dat boek wat vindt dan kunnen we dat boek daar nog eens opnieuw bestuderen...

[HansH]

@HH Pas aan het eind van dat filmpje wordt uitgelegd wat tensoren echt zijn. Als je dat laatste stukje niet volgt dan werkt dat filmpje vooral verwarrend omdat je tensoren dan toch weer als multidimensionale matrices gaat zien. Heb je dat boek van Schutz al bekeken? Daar bestaat van mij nog een topic over. Als je dat boek wat vindt dan kunnen we dat boek daar nog eens opnieuw bestuderen...

Nee nog niet bekeken. heb je daar een link van? met boeken heb ik altijd wat argwaan omdat ik al zo vaak heb ervaren dat dingen worden aangenomen als voorkennis die geen voorkennis zijn. zo blijf je in cirkeltjes ronddraaien. dat filmpje is bijna goed denk ik, maar dan moet hij nog even een praktijk voorbeeld toelichten van het laatste stukje. nu valt het kwartje niet.

[wnvl1]

Ik geef hier wat meer info voor het 2D geval. Dat is wat handiger dan 3D, wat hij in de film behandelt.
Die hoofdspanningen zijn invarianten van de tensor. Ze zijn onafhankelijk van de richting van het gekozen assenstelsel.
Je kan spanningen berekenen in andere richtingen via transformaties van het assenstelsel.
Allemaal toepassingen van tensoren.

----------------------------

Spanningstensor in 2D

Een punt in een 2D materiaalvlak kan spanningen in de \(x\)- en \(y\)-richting ervaren. De \textbf{spanningstensor} wordt gegeven door:

\[
\boldsymbol{\sigma} =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy}
\end{bmatrix}
\]

Hierin geldt:

\(\sigma_{xx}\) = normale spanning in \(x\)-richting
\(\sigma_{yy}\) = normale spanning in \(y\)-richting
\(\tau_{xy}\) = schuifspanning


Principale spanningen

De \textbf{principale spanningen} zijn de eigenwaarden van de tensor:

\[
\det(\boldsymbol{\sigma} - \lambda I) = 0
\]

Voor 2D:

\[
\begin{vmatrix}
\sigma_{xx}-\lambda & \tau_{xy} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy}-\lambda
\end{vmatrix} = 0
\]

Dit leidt tot:

\[
\lambda_{1,2} = \frac{\sigma_{xx} + \sigma_{yy}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}
\]

Maximale schuifspanning

De maximale schuifspanning wordt gegeven door:

\[
\tau_\text{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}
\]

Spanningen in een gedraaide richting

Als het coördinatenstelsel met een hoek \(\theta\) wordt geroteerd, zijn de spanningen in de nieuwe richting \(x'\) en \(y'\) gegeven door de tensortransformatie:

\[
\boldsymbol{\sigma}' = Q \, \boldsymbol{\sigma} \, Q^T, \quad
Q =
\begin{bmatrix}
\cos\theta & \sin\theta \\
-\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
\]

Expliciet voor 2D:

\[
\sigma_{x'} = \frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2} + \frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\cos 2\theta + \tau_{xy} \sin 2\theta
\]

\[
\sigma_{y'} = \frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2} - \frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\cos 2\theta - \tau_{xy} \sin 2\theta
\]

\[
\tau_{x'y'} = -\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta
\]

Voorbeeld

Gegeven:

\(\sigma_{xx} = 80 \text{ MPa}, \sigma_{yy} = 20 \text{ MPa}, \tau_{xy} = 30 \text{ MPa}\)

Rotatiehoek: \(\theta = 30^\circ\)

\[
\cos 2\theta = 0.5, \quad \sin 2\theta \approx 0.866
\]

Dan:

\[
\sigma_{x'} \approx 50 + 15 + 25.98 \approx 90.98 \text{ MPa}
\]

\[
\sigma_{y'} \approx 50 - 15 - 25.98 \approx 9.02 \text{ MPa}
\]

\[
\tau_{x'y'} \approx -30 \cdot 0.866 + 15 \approx -11.98 \text{ MPa}
\]

Zo kan de spanningstensor worden gebruikt om de spanningen in elke richting te berekenen.

[Professor Puntje]

@HH Iedere uitleg gaat uit van een zekere voorkennis, dat is niet uniek voor boeken.
Maar goed hier heb je een preview: https://books.google.nl/books?id=qhDFuW ... &q&f=false

[Gast]

Maar vijv zal later ook wel met zulke definities komen, want daar is verder niets geheimzinnigs aan.

Nee idd, dus veel moeite met tensoren heb je helemaal niet eens noch met een definitie ervan.
Dat is mooi, maar ik begrijp er niets meer van waar dat dan over ging, met die "grondslagen" en dergelijke.

En ja, arme vijf.

Was heel wat van plan met dit topic!

[Professor Puntje]

@HH Hier nog twee gratis te downloaden inleidingen:
https://ntrs.nasa.gov/api/citations/200 ... 175884.pdf
https://arxiv.org/pdf/math/0403252

[HansH]

Principale spanningen

De \textbf{principale spanningen} zijn de eigenwaarden van de tensor:

\[
\det(\boldsymbol{\sigma} - \lambda I) = 0
\]

Voor 2D:

\[
\begin{vmatrix}
\sigma_{xx}-\lambda & \tau_{xy} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy}-\lambda
\end{vmatrix} = 0
\]

vanaf hier voor mij al lost

[wnvl1]

Je kent de concepten eigenwaarden en eigenvectoren niet?