[wiskunde] begrensde rij

[zijtjeszotjes]

hee

hier een rij

gedefineerd voor n>=1.

s_n= 1/(1*3)+/(2*5)+1/(3*7)+...1/(n(2n+1)

1) toon aan

0.5s_n= 1-(1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n+1))

en dan nog 2 vraagjes..

maar ik zit vast bij deze!

ik krijg dat 1 gewoon niet weg..

dien ik te bewijzen met inductie?

kan dat niet anderS?

bedankt

[PeterPan]

Hint:

Schrijf alle breuken als een verschil van eenvoudiger breuken

1/k(2k+1) = 1/k - 2/(2k+1) voor k=1...n

[zijtjeszotjes]

Hint:

Schrijf alle breuken als een verschil van eenvoudiger breuken

1/k(2k+1) = 1/k - 2/(2k+1) voor k=1...n

had ik gedaan..:S

dan volgT?!

[PeterPan]

Dan volgt dat de formule niet klopt.

Probeer maar n=2 (of elke andere waarde voor n>1).

[zijtjeszotjes]

Dan volgt dat de formule niet klopt.

Probeer maar n=2 (of elke andere waarde voor n>1).

oh zo...

dus die gelijkheid van 0.5sn=1-(...) klopt niet..

dank je. ik begon weer aan mezelf te twijfelen

je hebt me gered...

thank u

[Safe]

Ik denk dat dit wel klopt!

S₁=1/3,

en volgens de formule: 1/2S₁=1-(1/2+1/3)=1/6 => S₁=1/3!

S₂=1/3+1/10=13/30

en volgens de formule: 1/2S₂=1-(1/3+1/4+1/5)=1-47/60=13/60 => S₂=13/30!

[dr. E. Noether]

Ik ben het met Safe eens: de opgave klopt. Dit staat trouwens bekend als een telescopische reeks. Je kunt met inductie naar n laten zien dat de gelijkheid klopt. Controleer voor n=1. Je moet dan nog laten zien dat het voor n+1 ook klopt. Neem als inductieveronderstelling dat

0.5s_{n}= 1 - (1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n+1)) ... (I.V.)

Dan moet je dus laten zien dat

0.5s_{n+1} = 1 - (1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/(2n+1) + 1/(2n+2) + 1/(2n+3)).

Welnu, 0.5s_{n+1} = 0.5[som] {k=1 tot n+1} (1/(k(2k+1)) = (*) = 0.5[som] {k=1 tot n+1} (1/k - 2/(2k+1))

= 0.5[som] {k=1 tot n} (1/k - 2/(2k+1)) + 1/(2n+2) - 1/(2n+3)

Het eerste deel kun je vervangen volgens de I.V. (immers de som loopt nu tot n). Je verkrijgt met I.V. een term 1/(n+1) die je NIET wilt hebben, maar kijk ook eens wat verderop staat! 1/(2n+2) - 1/(n+1) = -1/(2n+2). Een beetje herschrijven en datgene wat je wilde laten zien staat er. Succes ermee!

*) Met de hint van PeterPan.

[zijtjeszotjes]

oh zo bedankt!

maar als je geen inductie gebruikt.. hoe kan je zo'n formule laten ontstaan...

die '1'.. vind ik heel raar in de formule..

het lijkt alsof het de som is van een eindig breuken ..

[PeterPan]

Zonder inductie:

s_n =

1/(1*3)+/(2*5)+1/(3*7)+...1/(n(2n+1) =

(1/1-2/3) + (1/2-2/5) + ... + (1/n-2/(2n+1)) =

(1/1+1/2+...+1/n) - (2/3+2/5+...+2/(2n+1)) =

(1/1+1/2+...+1/n) - (2/2+2/3+2/4+...+2/(2n+1)) + (2/2+2/4+...+2/(2n)) =

2(1/1+1/2+...+1/n) - 2(1/2+1/3+1/4+...+1/(2n+1)) =

2 - 2(1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n+1)).

Dus s_n/2 = 1-(1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n+1)).