[Mechanica] Zwaartekracht

[Anonymous]

Jan:

verder had Einstein het niet altijd aan het juiste eind wat het universum en zijn orde betreft. Hij stelde zonder goede reden een "kosmologische constante in" zodat alles mooit op zijn plaats blijft. en het universum oneindig groot kan zijn....

Misschien offtopic, maar toch even een reactie hierop, wegens een stage die aan dit onderwerp is besteed.

Einstein had an sich een erg goede reden om die constante in te voeren: hij geloofde, net als de rest van de wetenschappelijke wereld, in een statisch universum. En uit zijn veldvergelijkingen bleek ( de zgn Friedmannvergelijkingen ) dat het heelal niet statisch is. Dus voerde hij een term in, die dit tegenging. Echter, het verkregen evenwicht is zo uiterst instabiel, en daarmee niet bepaald geloofwaardig. Het heeft verder weinig te maken met of het heelal oneindig is of niet. Wiskundig is de kosmologische term ook prima te rechtvaardigen; het voldoet immers aan behoud van energie ( via de metriekcompatibiliteit ), en als je de vergelijkingen met constante via het variatieprincipe wilt afleiden hoef je alleen een constante aan de EinsteinLangrangiaan toe te voegen.

Ik denk dat met recht kan worden gezegd dat of de kosmologische constante ook daadwerkelijk 0 is, en wat precies het mechanisme achter het ding is, 1 van de meest fascinerende en belangrijke fysische vraagstukken is in de hedendaagste natuurkunde. Je doet dus met je post niet echt recht aan de kosmologische constante; het is veel meer dan "die grootste blunder uit zijn leven" ( gequote door Weinberg in "my wordline", 15 jaar na de dood van Einstein )

[Brinx]

Jan, ik heb er even mee zitten puzzelen en ik denk dat het wel op te lossen is met wat slim gekozen integralen. Het hele probleem is toch dat het lijkt alsof de aantrekkingskracht in verticale richting wanneer je op de pool staat van een afgeplatte aarde kleiner zou moeten zijn dan die van een bolvormige aarde?

Als je aanhoudt dat beide objecten een uniforme dichtheid hebben en hetzelfde volume, kun je ze opdelen in een serie gestapelde schijfjes, die als het ware aan de poolas geregen zijn. Beschouw de verticale afstand van de waarnemer tot het midden van zo'n schijf als h, de radiele positie op de schijf als r, de dikte van de schijf als t, en de dichtheid als rho. Een massa-elementje van de schijf is dan rho * t * dr * r * dtheta. Dit massa-elementje zit op afstand sqrt(r^2 + h^2) van de waarnemer, en de verticale component van zijn aantrekkingskracht willen we hebben. Die component is een factor h / sqrt(r^2 + h^2). Als we nu voor de universele gravitatieconstante G nemen, dan is de verticale aantrekkingskracht door een schijf op de waarnemer:

a(vert) = ®(theta) t * rho * r * G / (r^2 + h^2) * h / sqrt(r^2 + h^2) dr dtheta.

Oplossen van deze oppervlakte-integraal levert:

a(vert) = 2 * pi * t * rho * G * h * (-1/sqrt(r^2 + h^2)) |(0...Rmax).

Die laatste term is trouwens een stokterm - wat lastig om weer te geven in ASCII. Deze term geeft dus de totale versnelling die een waarnemer ondervindt tengevolge van een schijf met radius Rmax op een afstand h onder zich. Nu is het nog een kwestie van de som (of liever de integraal) nemen over de totale stapel schijven. Voor de omwentelingsellipsoide valt hier een uitdrukking voor op te schrijven (voor de bol is die veel simpeler en is die hele integraal niet eens nodig), en die kunnen dan direct vergeleken worden. Daar ga ik nu nog niet mee aan de slag - misschien vanavond. Wellicht is er intussen iemand anders die hiermee even verder kan?

[Bart]

Nou, Als ik op de pool van een bolvormige aarde sta, dan zitten die kiezels meer onder dan naast me, en zouden ze ook harder aan me moeten trekken dan wanneer ik op een afgeplatte aarde sta, want dan verhuizen de kiezels ten eerste naar een meer zijdelingse positie (evenaar dijt uit), dus kleinere verticale component, en ten tweede verder van me vandaan, toch. Dit wordt het duidelijkst waar als alle kiezels uiteindelijk in een hele grote platte schijf liggen

Als jij op de noorpool staat en de bol wordt afgeplat, dan is komt bijna alle massa wat op het zuidelijk halfrond aanwezig is dichter bij jouw te staan, en niet verder zoals jij beweerd.

Vanwege de symmetrie, blijft het massamiddelpunt in het midden van de bol. Jouw afstand tot dit massamiddelpunt wordt door de afvlakking echter kleiner, waardoor de gravitatiekracht die jij ondervindt groter wordt.

[Brinx]

Bart, weet je zeker dat die benadering blijft gelden als je de bol nog verder en verder afplat? Stel je een omwentelingsellipsoide voor die van pool tot pool slechts een meter meet, maar die wel een equatoriale straal heeft van 16.1 miljoen kilometer. Zo'n object heeft dezelfde inhoud als de aarde (inhoud ellipsoide is toch 4/3 * pi * a * b * c, waarbij a, b en c de drie stralen zijn?), en je kunt ook als randvoorwaarde stellen dat het dezelfde dichtheid heeft. Je bevindt je nu wel op een halve meter van het zwaartepunt, maar de puntmassabenadering, die wel geldig is voor bolsymmetrische objecten, geldt al lang niet meer. De verticale component van de aantrekkingskracht die nu op je uitgeoefend wordt lijkt me nu kleiner dan wanneer je op een bolvormige aarde zou staan. De vraag is nu: waar ligt dat omslagpunt? hoe afgeplat zou de aarde moeten zijn om op de polen weer dezelfde aantrekkingskracht te krijgen als op de equator?

[Jan van de Velde]

Precies, dat was mijn vraag, maar nu in wiskundige-speak vertaald.

[peterdevis]

Dit probleem is enkel oplosbaar door de zwaartekracht voor een elipsoide te berekenen met behulp van een dubbele integraal (omdat we veronderstellen dat de as door de polen een symmetrie as is. Als deze intgraal opgelost is differentieren naar de verhouding van de twee assen, zodat je het maximum bepaald.

De integraal is volgens mij:

dt²/(b-bsin(t))²

met grenzen -a;cos(t) tot a.cos(t) (binnenintegraal en van 0 tot b

Wie lost hem op?

[Brinx]

Peter, je integreert daar over een hoek 't' als ik het goed begrijp? Waar je denk ik wat last mee zal krijgen is dat je niet alleen een integraal moet opstellen over het hele volume van de ellipsoide, maar ook dat je van ieder massadeeltje ervan de afstand tot de waarnemer in die integraal mee moet nemen om de totale aantrekkingskracht van de ellipsoide op de waarnemer uit te kunnen rekenen (de massa kan niet als puntmassa beschouwd worden!). Daarom lijkt me die aanpak met de cirkelschijven wat makkelijker, aangezien het daar nog slechts een kwestie van stapelen is: de kracht die een cirkelschijf met straal 'Rmax' uitoefent op een waarnemer op de symmetrie-as met afstand 'h' tot het middelpunt is al gesloten opgeschreven. Maar goed, misschien zijn beide methodes wel goed te doen. Leuke manier om te checken of ze straks ook hetzelfde resultaat geven.

[Jan van de Velde]

Ik ben al razend gelukkig met de idee dat ik mogelijk niet zo gek ben als ik er uitzie, en ik zal de wiskundefreaks die er zich aan willen wagen zeer dankbaar zijn voor een definitief antwoord. Ik zou mijn vermoeden dan de "Vandeveldeparadox" willen noemen als dat mag, al is die naam op zich misschien een pleonasme.

[Brinx]

Jan, je vraag is volgens mij een heel goede. Mocht je nog meer van ulke noties hebben, post ze gerust! Wellicht wordt voor de rest van ons het begrip van de stof daardoor ook beter. Ik zal vanavond nog even verderspelen met die integraal.

[wakkary]

Sinds kort heb ik dit forum ontdekt en ik doe graag mee. Wat Newton betreft, ik heb het altijd een verkeerde methode gevonden om antwoord te kunnen geven op bijvoorbeeld de vraag wat zwaartekracht is. Zwaartekracht is F en daarna volgen er wiskundige berekeningen. Maar dan weten we nog niet wat zwaartekracht is. Ik wil het beredeneerd zien. Uiteindelijk gaat het om de vraag wat gewicht is of er een zwaartekracht bestaat of niet.

Ik stel voor dat de centrifugaalkracht, (die bestaat wel), afneemt naarmate de radius groter wordt bij eenzelfde snelheid. Draai je rondjes op een motorfiets met honderd kilometer per uur, dan vlieg je uit de bocht wanneer de radius klein is. Naarmate de radius groter wordt neemt de centrifugaalkracht af. Tot hoever gaat dat? Tot er een evenwichtstoestand is ontstaan. Geef je dan gas dan moet de radius groter worden, rem je af dan gebeurt het omgekeerde. We kunnen ook de radius verkleinen om af te remmen, de snelheid wordt dan kleiner.

Mijn bewering is dat de maan in een evenwichtstoestand verkeert, of bijna want hij verwijdert zich met enkele centimeters van de aarde, per jaar of tijdseenheid. De centrifugaalkracht is daar derhalve bijna of gelijk aan nul en dus hoeven we niet te zoeken naar een aantrekkingskracht van de aarde om dat te compenseren. Die aantrekkingskracht is ook nul of bijna nul. Of bestaat helemaal niet.

Einde Newton,

Ton

[Brinx]

Ton, onthoud dat de centrifugaalkracht een schijnkracht is: hij wordt ingevoerd wanneer men een situatie in een roterend assenstelsel beschouwt, als 'correctie' voor het feit dat men niet in een inertiaalstelsel verkeert. Wanneer een inertiaalstelsel wordt gebruikt (een niet-roterend, niet-versnellend assenstelsel) om de situatie te beschouwen is er geen sprake van centrifugaalkrachten.

Wanneer we naar de beweging van de maan kijken en we doen dit vanuit een inertiaalstelsel (waarbij de specifieke keuze niet eens uitmaakt, zolang het maar een inertiaalstelsel is) wordt duidelijk dat de snelheidsvector van de maan voortdurend van richting verandert. Vanuit de Newtoniaanse mechanica betekent dat, dat er een kracht op de maan werkt: een van richting of grootte veranderende snelheid houdt versnelling in, en een versnelling betekent dat er een kracht op uitgeoefend wordt.

Wanneer je de aarde-maansituatie bekijkt vanuit een coroterend assenstelsel (waarin de aarde en de maan dus vaste plaatsen innemen) blijven de aarde en de maan op hun plek doordat de wederzijdse aantrekkingskracht (t.g.v. gravitatie) exact wordt gecompenseerd door de centrifugaalkracht. Wanneer je de situatie vanuit een inertiaalstelsel bekijkt is er van een krachtewnevenwicht geen sprake en versnellen de beide lichamen dan ook voortdurend. De centrifugaalkracht willen handhaven terwijl je de aantrekkingskracht op nul stelt leidt tot situaties waarin de maan onmiddelijk zijn baan verlaat - een onfysieke situatie.

Overigens, het feit dat de maan zich verwijdert van de aarde is een gevolg van de getijdekrachten die de aarde ondervindt aan de hand van de aantrekkingskracht van de maan. Dit is echter een apart verhaal en staat buiten deze beschouwing (neem voor de bovenstaande tekst eventueel aan dat de aarde en de maan al volledig 'tidally locked' zijn).

[edit]: Overigens zie ik dat de kwestie van de aantrekkingskracht van een ellipsoide nog altijd niet is opgelost. Ik ben nog steeds benieuwd naar het antwoord, maar het is me vooralsnog niet gelukt om die integraal op te lossen.

ik zal er nog eens mee gaan stoeien.

[Jan van de Velde]

Naarmate de radius groter wordt neemt de centrifugaalkracht af.

De zwaartekracht ook

Tot hoever gaat dat?

tot oneindig ver.

Die centrifugaalkracht wordt pas echt 0 als het voorwerp in een rechte lijn beweegt. (maan en aarde staan oneindig ver uit elkaar)

De zwaartekracht wordt pas echt 0 als de massamiddelpunten oneindig ver uit elkaar staan ( maan en aarde staan oneindig ver uit elkaar)

[wakkary]

Leuk jullie reacties, bedankt. Nee mijnheer van de Velde, de zwaartekracht zoals door Newton beschreven neemt af met de afstand. Omgekeerd evenredig. En de centrifugaalkracht hoeft niet precies nul te worden, dat zou een ideaaltoestand zijn. Vrijwel nul en dan is de zwaartekracht van Newton dat ook. Ik heb er trouwens aan toegevoegd dat die zwaartekracht niet bestaat, het was een verzinsel van Newton. Je moet er in "geloven", dat werkt nooit goed bij mij.

En nu mijnheer Brinx uit Rijswijk. (ik was biochemicus op het MBL-Rijswijk). U bent een pure Newtonist, sterrenkunde? Of alleen maar wiskunde. We hoeven het niet met elkaar eens te zijn, vindt U niet? Dat de centrifugaalkracht een schijnkracht zou zijn lijkt mij onzin, de zwaartekracht is een schijnkracht, je moet er in geloven. Het probleem was: wat is gewicht. Dat was het uitgangspunt van Newton. Dat gewicht en snelheid met elkaar te maken hebben komt niet tot uiting in zijn wiskundige formule. Dat is een kwalijke zaak, je hoeft maar een steen in de lucht te gooien om dat te begrijpen. Hoe groter de snelheid, hoe geringer het gewicht. In die volgorde liggen de fasen boven elkaar, dus het heeft te maken met condensatie of verdichting.

En dan dat eb- en vloed waardoor men dacht dat de maan aan onze oceanen trekt op een afstand van tachtigduizend kilometer. Dat is toch niet te geloven. Het is anders, de aarde draait zowel om zijn eigen as als om de aarde-maanas. Die liggen niet naast elkaar en ook niet parallel, ze maken een hoek. Met het gevolg dat de aarde niet goed uitgelijnd is, wanneer je dat bij een autowiel ziet dan slaat dat wiel aan twee kanten die tegenovergesteld zijn uit bij elke rotatie. Dat lijkt mij een betere en nuchtere verklaring.

Tot zover voorlopig, ik heb nog veel meer kritiek op de mechanica. Ik schrijf er een boekje over. Dat begint met een hoofdstukje over de Blauwe Hemel. Elk commentaar is welkom,

Ton

[Brinx]

En nu mijnheer Brinx uit Rijswijk. (ik was biochemicus op het MBL-Rijswijk). U bent een pure Newtonist, sterrenkunde? Of alleen maar wiskunde.

Ik zou mijzelf niet omschrijven als 'Newtonist' - ik beschouw de Newtoniaanse mechanica niet als heilig (geen enkel model is dat voor mij), maar slechts als bruikbaar over een breed gebied. Mijn achtergrond is luchtvaart- en ruimtevaarttechniek, met daarnaast sterke interesse in natuurkunde in het algemeen. Maar eerlijk gezegd doet dat er niet echt toe, volgens mij.

Wat me opviel in uw post was dat u de centrifugaalkracht als werkelijke kracht accepteert (in tegenstelling tot de zwaartekracht) - terwijl die centrifugaalkracht juist typisch voortvloeit uit een Newtoniaanse beschouwing van de situatie (vanuit een roterend assenstelsel). De beslissing om op die manier een concept uit dat raamwerk over te nemen terwijl U andere delen ervan niet als correct beschouwt begrijp ik niet. Welke criteria hanteert U daarbij?

Zwaartekracht wordt binnen de Newtoniaanse mechanica als 'kracht' behandeld, en welk mechanisme daaraan ten grondslag ligt is niet relevant - immers, het verschijnsel wordt in het model opgenomen omdat er dan nuttige voorspellingen mee (en over) kunnen worden gedaan, en niet om de herkomst van het verschijnsel 'gravitatie' te verklaren. Samen met het op deze manier implementeren van gravitatie ('zwaartekracht' klinkt eigenlijk al inherent Newtoniaans, nietwaar?) is de Newtoniaanse mechanica erg succesvol gebleken - er kunnen vele verschijnselen mee worden berekend en voorspeld, en daar is het een natuurkundig model toch om te doen.

Dat gewicht en snelheid met elkaar te maken hebben komt niet tot uiting in zijn wiskundige formule. Dat is een kwalijke zaak, je hoeft maar een steen in de lucht te gooien om dat te begrijpen. Hoe groter de snelheid, hoe geringer het gewicht. In die volgorde liggen de fasen boven elkaar, dus het heeft te maken met condensatie of verdichting.

Hier volg ik niet wat U bedoelt. Kunt U daar wat meer over uitweiden?

En dan dat eb- en vloed waardoor men dacht dat de maan aan onze oceanen trekt op een afstand van tachtigduizend kilometer. Dat is toch niet te geloven. Het is anders, de aarde draait zowel om zijn eigen as als om de aarde-maanas. Die liggen niet naast elkaar en ook niet parallel, ze maken een hoek. Met het gevolg dat de aarde niet goed uitgelijnd is, wanneer je dat bij een autowiel ziet dan slaat dat wiel aan twee kanten die tegenovergesteld zijn uit bij elke rotatie. Dat lijkt mij een betere en nuchtere verklaring.

Wanneer U de zwaartekracht niet als geldige beschrijving accepteert kan ik me voorstellen dat U het voorkomen van getijden op die manier (dus door gebruik te maken van het fenomeen 'zwaartekracht') niet kunt uitleggen. Van Uw alternatieve verklaring van dit effect kan ik de strekking echter niet volgen. Bovendien, hoe leidt dat tot impulsoverdracht van aardrotatie naar de baansnelheid van de maan?

[wakkary]

Minheer Brinx en andere lezers. Ik wil hier eerst wat zeggen waarom ik op dit forum zit. Ik wilde natuurfilosoof worden, schreef me in op de NPF van de GU Amsterdam. De natuurfilosofische faculteit. Na het kandidaats was er geen hoofdvak natuurfilosofie, ik koos biochemie met radiochemie en microbiologie. Daarna werd ik biochemicus op het TNO Rijswijk met een vrije opdracht: DNA. Publicaties in de BBA, leuk werk. Reorganisatie, ik moest nuttig worden, via het onderwijs kon ik er aan ontkomen. Leuke kinderen, maar ik ben geen pedagoog dus plotseling was ik vrij. Ik kon me aan de natuurfilosofie wijden. Ik kreeg een pensioen van de Stichting 40-45 en toen was ik helemaal vrij. Vele jaren hield ik mij bezig met de natuurfilosofische vraagstukken en nu schrijf ik er een boekje over. Tegelijkertijd wil ik wel weten hoe daar over gedacht wordt, ik kom op vier dimensies in plaats van drie en electriciteit is voor mij alleen maar spanning. Over het bestaan van penleidingen wist ik niets, het klopt wel met mijn verhaal.

Dus dat is waarom ik mijn ideeën test op dit forum. Het maakt nogal wat emoties los, maar dat was al zo op die forums in het antieke Griekenland.

Het kan zijn dat het niet thuis hoort op Klassieke Mechanica, alles vindt zijn weg.

Ton