Limiet van een bijzondere reeks

[dirkwb]

Zijn we dit als een reële functie van n aan het bekijken?

Neem dan een keer n = 2k.pi en eens n = (2k+1).pi...?

Wat wil je hiermee aantonen? n is toch een geheel getal? En zelfs als we het reëel bekijken dan is dit toch niet voldoende?

[TD]

Vandaar de vraag: zijn we dit als een reële functie van n aan het bekijken? Indien een rijtje, inderdaad...

[PeterPan]

\(n\)

is (zoals gebruikelijk in dit soort problemen) een natuurlijk getal.

Ik zal een bewijs geven.

[PeterPan]

\(\lim_{n \to \infty} \left( \frac23 + \frac13 \cdot \sin(n)\right)^n\)

?

Schrijf

\(a_n = \left( \frac23 + \frac13 \cdot \sin(n)\right)^n\)

.

De limiet bestaat niet.

Eerst het makkelijke deel. Ik toon aan dat als de limiet bestaat, dan is hij 0.

Stel de limiet is

\(a\neq 0\)

.

Dan is

\(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 1\)

(want

\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1\)

).

Dan is

\(\lim_{n \to \infty} \sin(n) = 1\)

Dit kan niet en is eenvoudig in te zien. Bijvoorbeeld (ietwat omslachtig) als volgt:

1 =

\(\lim_{n \to \infty} \sin(2n) = \lim_{n \to \infty} 2\sin(n)\cos(n)\)

en dus

\(\lim_{n \to \infty} \cos(n) = \frac12\)

.

Echter

\(\sin^2(n) + \cos^2(n) = 1\)

voor alle

\(n\)

.

Dus de limiet is 0, of de limiet bestaat niet.

Het tweede deel volgt.

[PeterPan]

Ik ga nu op zoek naar een deelrij die niet naar 0 convergeert.

Even een blabla verhaaltje om een gevoel te krijgen hoe je kunt proberen die deelrij te vinden.

Als we een rij

\(n_1, n_2, \sdots\)

hebben

\(\sin(n_i) \approx 1 - \frac{c}{n_i}\)

(

\(c\)

een of andere constante), dan is

\(a_{n_i} \approx \left(1 - \frac{c'}{n_i}\right)^{n_i}\)

voor een of andere constante

\(c'\)

en die rij convergeert naar

\(e^{-c'}\ne 0\)

.

Dus zoeken we naar zo'n deelrij

\(n_1, n_2, \sdots\)

, en voor de termen uit die rij moet gelden dat

\(n_i \approx \frac{\pi}{2} + 2k_i\pi}\)

.

Wordt vervolgd

[PeterPan]

De

\(n_i\)

's moeten dus ongeveer gelijk zijn aan een oneven veelvoud van

\(\frac{\pi}{2}\)

.

Bekijk derhalve eens de veelvouden van

\(\frac{\pi}{2} (=\beta)\)

:

\(\beta, 2\beta, 3\beta, \cdots\)

.

Notatie: Schrijf

\(x^* = x - [x]\)

, dus

\(x^*\)

is het gedeelte achter de komma, en ligt dus altijd tussen 0 en 1.

\(0, \beta^*, (2\beta)^*, (3\beta)^*, \cdots, (m\beta)^*\)

zijn m+1 getallen tussen 0 en 1, dus zijn er twee getallen uit dat rijtje (zeg

\((i\beta)^*,(j\beta)^*\)

met

\((i\beta)^*-(j\beta)^* \le \frac{1}{m+1}\)

\(|(i\beta)^*-(j\beta)^*| = |(i-j)\beta - [(i-j)\beta]| \le \frac{1}{m+1}\)

Merk hierbij op dat

\(i-j\le m\)

en dat

\([(i-j)\beta]\)

een integer is. Schrijf

\(i-j=n_m\)

en

\([(i-j)\beta] = q\)

.

Dan bestaat er dus dat voor elke

\(m\)

integers

\(q\)

en

\(n_m(\le m)\)

zo dat

\(|n_m\frac{\pi}{2} - q| < \frac{1}{m+1} < \frac{1}{n_m}\)

Er bestaat nu dus een rijtje

\(n_1\beta, n_2\beta, n_3\beta, \cdots\)

met

\(n_i\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n_i} < q_i < n_i\frac{\pi}{2}+\frac{1}{n_i}\)

.

Veronderstel even dat alle

\(n_i\)

's oneven zijn. Merk op dat

\(\frac{q_i}{n_i} \approx \frac{\pi}{2}\)

.

Dan is

\(\sin(q_i) > 1-\frac{c}{q_i}\)

voor een of andere constante

\(c\)

.

Dit is wat we wilden aantonen. Er blijft nog over dat we de

\(n_i\)

's oneven verondersteld hadden.

Stel

\(n_m\)

is even. Dan zoek ik nu naar een geschikte oneven vervanger voor

\(n_m\)

.

De ggd van

\(n_m\)

en

\(q\)

is 1. Dus zijn er integers

\(k,r\)

zo dat

\(kn_m + rq = 1\)

.

\(|kn_m\frac{\pi}{2} - kq| < \frac{k}{n_m}\)

\(|\frac{\pi}{2} - rq\frac{\pi}{2} - kq| < \frac{k}{n_m}\)

\(|rq\frac{\pi}{2} + kq| < \frac{k}{n_m}+\frac{\pi}{2}\)

\(|r\frac{\pi}{2} + k| < \frac{k}{qn_m}+\frac{\pi}{2q} < \frac{c'}{r}\)

en r is oneven.