Operator norm

[dirkwb]

[attachment=3014:1.PNG]

Het gaat mij om opgave (b)

Als afschatting heb ik:

\( ||Af||_2 = \int_0^1 |x^2 f(x)|^2 \mbox{d}x \leq \int_0^1 |f(x)|^2\ \mbox{d}x =||f||_2 \)

Maar hoe moet je dan verder? Want ik heb een f_0 nodig zodanig dat

\( \frac{||Af_0||}{f_0} \)

maximaal is.

[PeterPan]

Je afschatting is te grof.

Gebruik de Cauchy-Schwarz ongelijkheid.

[dirkwb]

Je afschatting is te grof.

Gebruik de Cauchy-Schwarz ongelijkheid.

Dat kan, maar deze is voldoende het gaat mij om het gedeelte daarna.

[PeterPan]

Je afschatting is te grof voor het vinden van

\(||A||_2\)

[dirkwb]

Nee, want er zal uiteindelijk blijken dat

\( ||A||_2 =1 \)

[PeterPan]

Vul in

\(f(x)=x^n\)

.

Dan is

\(\frac{||Af||_2}{||f||_2} = \)

?

[PeterPan]

Accoord?

[dirkwb]

Vul in

\(f(x)=x^n\)

.

Dan is

\(\frac{||Af||_2}{||f||_2} = \)

?

Ik kom uit op:

\(\sqrt{ \frac{5n}{2n+5} }\)

Hoe kom je aan deze keuze? En nu introduceer je n wat moet je dan doen? Volgens mij is die verhouding met x^n niet maximaal of zie ik iets over het hoofd?

[PeterPan]

Ik krijg er uit

\(\sqrt{\frac{2n+1}{2n+5}}\)

[dirkwb]

Klopt ik maakte een rekenfout.

[PeterPan]

Probleem opgelost?

[dirkwb]

Nee, want het klopt niet: de verhouding van Af/f is niet maximaal derhalve krijg ik geen goed resultaat.

[PeterPan]

Toon aan, dat

\(\frac{||Af||_2}{||f||_2}\)

geen maximum heeft, maar wel een supremum!

Voor elke

\(\epsilon>0\)

is er een

\(f\)

zo dat

\(\frac{||Af||_2}{||f||_2}>1-\epsilon\)

[dirkwb]

Ik snap niet waar je naartoe wil: x^n levert niet het het gewenste resultaat, toch?

[PeterPan]

Ik neem aan dat we met reëelwaardige functies te maken hebben. (Anders wat vertikale strepen zetten).

Stel

\(||Af||_2 = ||f||_2\)

voor zekere

\(f \ne 0\)

b.o..

Dan is

\(\int_0^1 x^4f^2(x)\ dx = \int_0^1 f^2(x)\ dx\)

en dus

\(\int_0^1 (1-x^4)f^2(x)\ dx = 0\)

.

Merk op dat de integrand nooit negatief is, dus de integrand is 0 en dus

\(f=0\)

b.o.

Tegenspraak!!!

Ik heb eerder aangetoond dat

\(\sup\{\frac{||Af||_2}{||f||_2}\} = 1\)

Dus

\(||A|| = 1\)

Definitie:

\(||A|| = \sup_{f\ne0 b.o.}\{\frac{||Af||_2}{||f||_2}\}\)