Voor mijn Geneeskundescriptie doe ik onderzoek naar infectieziekten. Ik probeer voor de aardigheid een model op te stellen dat het aantal geïnfecteerde personen
\(I\)
als functie van tijd \(t\)
beschrijft. Hiervoor zijn onder meer het basis-reproductiegetal \(R\)
en de ziektevatbaarheid \(S\)
van belang. De betekenissen hiervan - voor zover relevant - zijn respectievelijk het gemiddeld aantal secundaire besmettingen door een geïnfecteerd individu en de fractie personen van een populatie die bevattelijk is voor de ziekte. Om \(R\)
secundaire besmettingen te veroorzaken is gemiddeld gezien de tijd \(T\)
nodig. In het irreële geval van een oneindig grote populatie leek mij dat het model er simpelweg als volgt uit moest ziet:\( I(t) = I(0)(RS)^{t/T} = I(0)e^{ln(RS)t/T} \)
Nu is er echter in werkelijkheid een maximale populatieomvang
\(N\)
en vanzelfsprekend geldt \(I(t) < N\)
. Ik was niet zeker hoe ik bovenstaande formule zodanig uit moest breiden dat de term \(N\)
hierin meegenomen werd en er dus een realistischer beeld van de situatie ontstaat. Mijn poging was de volgende.Omdat bovenstaande vergelijking in zijn laatste vorm gezien kan worden als de oplossing van de differentiaalvergelijking:
\( dI/dt = ln(RS)I/T \)
Leek mij dat ik door deze diffentiaalvergelijking uit te breiden naar een vorm voor begrensde groei, oftewel:\( dI/dt = ln(RS)I(N-I)/T \)
En hier de oplossing voor te zoeken (Verhulst), het probleem zou hebben opgelost. Mijn vraag is echter of ik dit uitbreiden van de differentiaalvergelijking ongestraft mag doen. Ik kom dan uit op de volgende oplossing (enigszins vereenvoudigd):\( I(t) = I(0)N/(I(0) + (N-I(0))(RS)^{-Nt/T}) \)
Op zich voldoet deze formule aan een aantal criteria dat er aan gesteld wordt (startwaarde \(I(0)\)
, maximale waarde \(N\)
, groei afhankelijk van het product \(RS\)
e.d.), maar toch heb ik mijn twijfels.Suggesties worden zeer op prijs gesteld.
Vriendelijke groet en bij voorbaat dank,
Philip
