Metriek - volledigheid

[Drieske]

"Beschouw de metriek

\(d(x,y) = \min{\{\lVert x-y \rVert,1\}}\)

. Is

\(\rr^2\)

volledig met deze metriek? Bewijs of vervolledig "

Ik denk wel dat deze ruimte volledig is, daar R volledig is met de gewone metriek en er hier maar één kleine aanpassing is gebeurd (van zodra de afstand kleiner is dan 1, is het toch de gewone metriek). Punt is dat ik het niet rigoreus kan bewijzen... onder het jaar hebben we nooit oefeningen gemaakt op bewijzen dat iets volledig is en dus hoopte ik op een aanzet; mss kan ik het dan meteen ook voor de andere oef.

Het is wel een belangrijk stuk daar de prof het altijd vraagt op het examen

Alvast bedankt!

[mathfreak]

Ga uit van de definitie van volledigheid van een metrische ruimte en kijk eens hoe je deze hier kunt toepassen.

[PeterPan]

De metrische ruimten (

\(\mathbb{R}^2,||.||\)

) en (

\(\mathbb{R}^2,d\)

) hebben dezelfde open verzamelingen.