Doorbuiging van een buis op 5 opleggingen

[AbvanStaalduinen]

Ik heb het volgende probleem:

Ik heb een buis (rond 51 met een wanddikte van 2,5mm.) welke is opgelegd op 5 ondersteuningen. De afstand tussen de opleggingen is 1250mm. Op een afstand van 1750 mm. en 3250 mm. drukt een kracht van 3500N. Nu is met een programma als FEMAP wel uit te rekenen hoe de balk eruit gaat zien tgv deze kracht en er wordt voor je uitgerekend wat de doorbuiging is en de spanning, maar ik zou dit graag met de hand uit willen rekenen (tenminste mbv een Excel sheet). Aangezien het een statisch overbepaalde balk is heb ik geen idee hoe ik hier de 'vergeet-me-nietjes' op los moet laten omdat deze er vanuit gaat dat je maar 2 opleggingen hebt, waartussen een kracht staat. Wie kan me voorbeelden, tips of hints geven om dit probleem op te lossen?

[jhnbk]

Misschien vrij laat voor een antwoord. Ik weet niet wat je kennis van sterkteleer is maar dit probleem met excel oplossen zal wel wat werk vragen.

Het makkelijkste in excel lijkt mij een matrixmethode. Welke methoden heb je zoal gezien?

Verplaatst naar constructie- en sterkteleer.

[oktagon]

Methode Cross is ook goed te gebruiken,mits je kennis daarvan hebt.

[jhnbk]

Of nog beter Clapeyron wat perfect met Excel (net als cross trouwens) uit te werken is. Ik keek net even naar een mogelijkheid om van 'elk' punt de zakking te bepalen met Excel. Dit is mogelijk maar vraagt enorm veel werk en dat is het niet waard aangezien het dan een Excel file wordt die enkel voor deze toepassing nuttig is.

[AbvanStaalduinen]

Ik ben blij dat jullie nog reageren op deze vraag.

Ik heb het probleem nu aangepakt met de Slope-deflection methode. Ik ben hierbij uitgegaan van 3 opleggingen om het enigzins overzichtelijk te houden. Ik heb dit dusdanig uitgewerkt dat ik de reactiekrachten in de opleggingen uit kan rekenen. Ik weet alleen nog steeds niet hoe ik nu de doorbuiging uit reken.

Ik hoef in principe niet op elk punt de doorbuiging te weten. Ik wil alleen de doorbuiging weten op het punt waar de kracht staat, dit zijn twee punten. Wat bedoel je overigens met: "dan wordt het een Excel-sheet die alleen voor deze toepassing te gebruiken is"? want de doorbuiging heb ik weer nodig om een andere berekening precies te krijgen. Dus het is voor mij wel belangrijk dat ik hier uit kom.

[jhnbk]

Ik bedoelde dat als je andere krachten op je ligger hebt het niet meer werkt. (Dat even terzijde)

Als je enkel de zakking moet hebben in het aangrijpingspunt van de krachten leent deze situatie zich vrij goed voor de integralen van Mohr te gebruiken. Ik plaatste hier al eens een voorbeeld. Kort samengevat heb je de momentenlijn nodig onder de originele belasting en de momentenlijn indien je het punt waar je de zakking wilt weten belast met een eenheidslast. Hier kan ik altijd met de uitwerking helpen aangezien ik de methode goed beheers.

[rodeo.be]

je kan de situatie allereerst al vereenvoudigen tot:



(reden: door de symmetrie heb je in het midden geen hoekverdraaiing. Je kan dit vervangen door een inklemming)

Je kan de doorbuiging dan vrij snel bepalen met een excelleke (in de onderste 2 figuurtjes moet je rechts met een oplegging en geen inklemming werken):



Als je met vakken van gelijke grootte zit zou ik Cross gebruiken. Mijn methode geeft je een veel grotere vrijheid (lengte vd tussenvelden, andere aangebrachte belastingen, kleine zakking van een steunpunt, ... , maar is wat meer werk.

[jhnbk]

Het kwam enkel op deze case aan dus is Cross wel vrij handig. Een mogelijkheid om van 'alle' punten de doorbuiging te weten is de Analogie van Mohr te gebruiken.

[AbvanStaalduinen]

Ik heb de theorie van de Cross Methode en de integralen van Mohr bestudeerd en geprobeerd toe te passen. Ik ben begonnen met de opmerking van jhnbk (integralen van Mohr) die hij eerder in een andere topic plaatste. Ik liep hier alleen al snel tegen het feit aan dat ik niet wist wat het verschil is tussen een eenheidslast en de orginele last.

Misschien nog even duidelijk toelichten wat precies m'n bedoeling is. Ik heb een buis waarop een belasting staat. De afstand van deze belasting ten opzichte van de ondersteuning kan variëren, de afstand van de twee krachten is echter altijd 1500 mm. Je kan dus niet altijd zeggen dat de hoekverdraaiing ter hoogte van de steun 0 is. Bovendien kan de grootte van de belasting op de buis toe- of afnemen (= variabel). Zoals ik al zei ben ik eerst aan de slag gegaan met de slope-deflection mode hier ben ik uitgekomen tot aan de reactiekrachten in de steun. Aan de hand hiervan kan ik de momentlijn tekenenen (van de orginele last) neem ik aan. Om dit te laten zien zou ik dit graag even willen uploaden alleen kan ik maar 50kb uploaden. Aangezien er wat figuren met formules in het document zitten om de boel toe te lichten is het al snel boven de 50 kb. Heeft iemand hier een oplossing voor (.rar) ervan maken maakt niet veel uit.

Maar m'n uiteindelijke vraag is hoe kom je aan de momentlijn van de eenheidslijst en hoe kom je hier vervolgens uit op de doorbuiging?

[jhnbk]

Vergeet die Cross en die Mohr eventjes.

Misschien nog even duidelijk toelichten wat precies m'n bedoeling is. Ik heb een buis waarop een belasting staat. De afstand van deze belasting ten opzichte van de ondersteuning kan variëren, de afstand van de twee krachten is echter altijd 1500 mm. Je kan dus niet altijd zeggen dat de hoekverdraaiing ter hoogte van de steun 0 is. Bovendien kan de grootte van de belasting op de buis toe- of afnemen (= variabel). Zoals ik al zei ben ik eerst aan de slag gegaan met de slope-deflection mode hier ben ik uitgekomen tot aan de reactiekrachten in de steun.

Bon. Kan je in je Excel sheet de posities en de grootte van de lasten aanpassen?

Ik meen dat het; achteraf handiger gaat zijn om de ligger per deel op te splitsen.

@Oktagon: weet je een snelle en in excel een handig toepasbare methode om de verplaatsingen te bereken van elk deel van de ligger?

PS: Je kan de sheet altijd uploaden met een externe dienst zoals megaupload.com en hier dan een linkje plaatsen.

[jhnbk]

Even terzijde over de integralen van Mohr:

Maar m'n uiteindelijke vraag is hoe kom je aan de momentlijn van de eenheidslijst en hoe kom je hier vervolgens uit op de doorbuiging?

Je hebt een ligger (aantal steunpunten of inklemmingen maakt niet uit) welke belast is met wat lasten die een momentelijn M_F geven. Om nu de verplaatsing in een willekeurig punt te weten kunnen we Castigliano toepassen met een hulp last. (Castigliano stelt dat de afgeleide van de energie naar een puntlast te verplaatsing van het aangrijpingspunt van die puntlast volgens de zin van de puntlast geeft.)

Die puntlast P moeten we dus achteraf gelijk stellen aan nul. De momentenlijn van de totale belasting (met die hulp last dus) kunnen we schrijven als M_F + P . M₁ waarbij de laatste term superpositie is van de momentenlijn voor P=1 (de eenheidslast dus) maar dan P keer genomen.

\(U = \int_{l} \frac{(M_F+P \cdot M_1)^2}{2 EI}\mbox{d}x\)

Toepassen van Castigliano:

\(\frac{\partial}{\partial x}U = f_P = \frac{\partial}{\partial x} \int_{l} \frac{(M_F+P \cdot M_1)^2}{2 EI}\mbox{d}x\)

Regel van Leibniz:

\(f_P = \int_{l} \frac{2 (M_F+P \cdot M_1) \cdot M_1}{2 EI}\mbox{d}x\)

Maar P=0 want het was een hulplast:

\(f_P = \int_{l} \frac{M_F \cdot M_1}{EI}\mbox{d}x\)

[oktagon]

Vergeet die Cross en die Mohr eventjes.

Bon. Kan je in je Excel sheet de posities en de grootte van de lasten aanpassen?

Ik meen dat het; achteraf handiger gaat zijn om de ligger per deel op te splitsen.

@Oktagon: weet je een snelle en in excel een handig toepasbare methode om de verplaatsingen te bereken van elk deel van de ligger?

"Ik ga voor" de methode die Rodeo.be omschrijft en toont!

PS: Je kan de sheet altijd uploaden met een externe dienst zoals megaupload.com en hier dan een linkje plaatsen.

[jhnbk]

Hoe zit het dan met de zakking in elk punt?

[AbvanStaalduinen]

Om voor een jullie een beeld te krijgen waarmee ik bezig ben is het bestand via de volgende link te vinden:

http://www.megaupload.com/?d=QSGVY671

- In het bovenste gedeelte van de sheet kunnen een aantal dingen aangepast worden. (buisdiameter+dikte, grootte van de last, steunafstand, h.o.h afstand van de last, en de positie van de last ten opzichte van de ondersteuningen).

- De manier van rodeo.be heb ik ook bekeken maar hier heb je het probleem dat er wordt uitgegaan van symmetrie. Dit is alleen het geval als a=500. Als we hier 750 van maken is er geen symmetrie meer en is de hoekverdraaiing ter hoogte van het middelpunt geen 0 meer. Ik heb in het bestand ook twee printscreens uit FEMAP toegevoegd.

- Voor wat betreft de uitleg van Castigliano; Hoe kom je nu aan M1 want als ik P=1 neem en ik stel Mf + P*M1 = 0 dan is de eenheidslast dus gelijk aan Mf alleen dan negatief?

- Wat bedoel je overigens met "Hoe zit het dan met de zakking in elk punt?" Ik wil alleen de doorbuiging onder de last weten (=zakking?). In het geval van symmetrie is deze aan beide kanten gelijk en hoef je dus misschien maar aan één kant de doorbuiging te bepalen? Hier was ik eerst van uit gegaan. Ik berekende toen de doorbuiging met een standaard vergeet-me-nietje. Je krijgt dan alleen een doorbuiging van 6,3 mm. ipv 3 mm. ide uit FEMAP en MITCALC komt rollen. Daarom moet je dus toch op een manier ook de tweede kracht meenemen...

[jhnbk]

- In het bovenste gedeelte van de sheet kunnen een aantal dingen aangepast worden. (buisdiameter+dikte, grootte van de last, steunafstand, h.o.h afstand van de last, en de positie van de last ten opzichte van de ondersteuningen).

Je moet eens kijken naar de vorm van je momentenlijn als je deze tekent voor andere plaatsingen van de krachten. Mij lijkt dat niet geheel correct te zijn.

- De manier van rodeo.be heb ik ook bekeken maar hier heb je het probleem dat er wordt uitgegaan van symmetrie. Dit is alleen het geval als a=500. Als we hier 750 van maken is er geen symmetrie meer en is de hoekverdraaiing ter hoogte van het middelpunt geen 0 meer. Ik heb in het bestand ook twee printscreens uit FEMAP toegevoegd.

De manier van rodeo.be zal veel werk vragen en dat lost jouw probleem van de doorbuiging nog niet op

- Voor wat betreft de uitleg van Castigliano; Hoe kom je nu aan M1 want als ik P=1 neem en ik stel Mf + P*M1 = 0 dan is de eenheidslast dus gelijk aan Mf alleen dan negatief?

Je begrijpt het verkeerd. P is de hulplast die achteraf nul wordt gesteld. Je kan schrijven dat P een momentenlijn P M₁ opwekt waarbij er om M₁ te bekomen op de plek waar de zakking geweten moet zijn een last met waarde 1 te plaatsen. In de link die ik hierboven gaf staat gelinkt naar een boek met duidelijke uitleg.

- Wat bedoel je overigens met "Hoe zit het dan met de zakking in elk punt?" Ik wil alleen de doorbuiging onder de last weten (=zakking?). In het geval van symmetrie is deze aan beide kanten gelijk en hoef je dus misschien maar aan één kant de doorbuiging te bepalen? Hier was ik eerst van uit gegaan. Ik berekende toen de doorbuiging met een standaard vergeet-me-nietje. Je krijgt dan alleen een doorbuiging van 6,3 mm. ipv 3 mm. ide uit FEMAP en MITCALC komt rollen. Daarom moet je dus toch op een manier ook de tweede kracht meenemen...

Ahzo. Dan is mijn methode een zeer eenvoudige methode indien je een exact werkende excel sheet hebt.

Even terzijde: zulke dingen vragen in Excel heel veel werk. Ik heb zelf een kleine library in C# die doorlopende liggers kan oplossen. Je zou er eens over kunnen denken om dit in een echte programmeer taal te doen.