[sterkteleer] krachten berekenen

[jhnbk]

Nog even de methode. (De tweede link verduidelijkt de werkwijze)

Ik haal staaf CD weg en vervang deze door een onbekende kracht X1.

Ik heb nu twee belastingsgevallen: F (die 15 kN) en X1=1 (zonder die F). Ik stel verder A1=25 mm² en A2=15 mm²

\(f_{11} X_1 = -f_{1F}\)

\(f_{11}= \frac{(1/2)^2}{A_1 E}\cdot 2 + \frac{1}{A_2 E}\)

\(-f_{1F}= \frac{\frac12 \frac34 F}{A_1 E}\cdot 2 + \frac{\frac12 \frac14 F}{A_1 E}\)

Uitwerken

\(X_1 = \frac{A_2}{A_2+ 2 A_1} F\)

=

\(F_{CD} = \frac{45}{13} \ \mbox{kN} \approx 3,4615 \ \mbox{kN}\)

[oktagon]

Wat moet ik beschouwen als een ideale ligger?

Ik ga uit van een ligger met over de volledige lengte gelijke waarden,hetgeen normaal is en daar mag ik mijn Crossmethode op los laten,behoudens het feit dat de ophangpunten bij deze belasting niet alle op gelijke hoogte hangen door de var.geringe verschillen in rek.

Ik ben benieuwd waar de topichouder de lengteveranderingen op baseert,rekening houdende met de var.stangdiameters.

[jhnbk]

behoudens het feit dat de ophangpunten bij deze belasting niet alle op gelijke hoogte hangen door de var.geringe verschillen in rek.

Jij zou dan zeker wel moeten weten dat een zakking van een tussensteunpunt een extra aanvangsmoment geeft. Dit maakt ineens cross overbodig aangezien je de zakking moet weten om deze aanvangsmomenten te bepalen. Hiervoor moet je uiteraard eerst de oplossing van het stelsel hebben en zal je dus de methode van Dirkwb of die unit dummy force methode moeten gebruiken.

Ik ben benieuwd waar de topichouder de lengteveranderingen op baseert,rekening houdende met de var.stangdiameters.

Je stelt deze lengteveranderingen gelijk en zoekt dan de krachten. (Zie ook de uitleg in de door mij gegeven links)

EDIT: even verduidelijken, je gaat de verplaatsingen optellen van alle deelstelsels. Hier met uitwendige krachten en de onbekende in de middelste staaf.

[dirkwb]

@jhnbk: is de dummy force methode niet gewoon de methode van virtuele arbeid?

[jhnbk]

For a general system, the unit dummy force method also comes directly from the virtual work principle.

Blijkbaar wel maar ik heb het nooit in die context gezien.

[oktagon]

@JHNBK:

Je stelt deze lengteveranderingen gelijk en zoekt dan de krachten.

Wat belet mij dan om de Crossmethode toe te passen,er zijn in dat systeem ook geen verzakkingen opgenomen;die zouden in jullie systeem dan nog moeten worden berekend en gebaseerd op welke resterende krachten (anders kunnen die niet optreden!)

Overigens is de door jullie genoemde methode eentje gebaseerd op aannames en dat is de methode Cross ook en zo kunnen er nog wel meer genoemd worden!

Aangezien ik die methode niet ken,kan ik er verder niet over in discussie gaan en mag jullie systeem als waarheid gelden;ik ben wel benieuwd waarop dit systeem in detail is gebaseerd om enigszins een idee te krijgen welke weg wordt gevolgd.

Nb.

Ik bekeek via WIKi de dummy-methode en zag een verwijziging naar Castigliano met zijn eliminatiemethode(s) na de aanvankelijke aannames.

Bij Cross begin je ook met aannames in de vorm van aanvangsmomenten en elimineer je momenten op basis van vereffeningsmomenten,die weer zijn gebaseerd op lengte en doorsnede van de aangrenzende staaf in het zoeken naar evenwicht op het steunpunt.

[oktagon]

Ik ga toch nog even door met Cross en optredende knooppuntverplaatsingen:

Staal = A370 (vloeispanning zal liggen in de buurt van 250 N/mm²)

E= 210 GPa= 210000 N/mm²

Staaf / doorsnede/optredende kracht/optredende spanning

Staaf AB 25 mm² ..........8906N..........356N/mm² gaat over in vloeien!

Staaf CD 15 mm²...........7500N..........500N/mm² gaat over in vloeien!

Staaf EF 25 mm².........-1406N.......... -56N/mm² drukt hoeveel in ????

Grootste trekspanningsverschil (500-356)N/mm² = 144 N/mm²

Rel.lengteverschil (bij niet optreden van vloeien) 144/210000 = 0,00068 * 500 mm = 0,34 mm

Ik geloof niet dat er bij een balk met vergelijkbare lengte,belasting en opleggingen door een zetting van 0,34mm er grote verrekeningen van knoopverplaatsings-momenten gaan plaatsvinden;dat zou met een 2e Cross te berekenen zijn en weer te verrekenen met de eerste zonder zettingen .

Stel dat alle drie de staven naar verhouding van de diameters die 15000 N zouden opnemen,dan geeft dat een gemiddelde spanning van 15000 N/ 65 mm² = 230 N/mm²,al heel dicht tegen de vloeigrens!

[jhnbk]

Cross gaat niet werken omdat de staven die jij als oplegging idealiseert niet eenzelfde gedrag hebben. Tevens gaat Cross uit van het effect op buigmomenten. Hier mag je de normaalkrachten niet verwaarlozen. Ik ga hier niet meer op terugkomen. Je mag altijd een volledige uitwerking posten waar je verduidelijkt welke aannames dat je neemt. Dit zijn alvast de uitkomsten

<table cellpadding="0" cellspacing ="0" border="1" class="bbc">[tr][td]Staaf[/td][td]Kracht (kN)[/td][/tr][tr][td]EB[/td][td]9,52[/td][/tr][tr][td]CD[/td][td]3,46[/td][/tr][tr][td]EF[/td][td]2,02[/td][/tr]</table>

Alle staven ondervinden een trekkracht.

@Dirkwb: ik neem aan dat jij hetzelfde uitkomt?

[jhnbk]

Ik deed een berekening (met software) waarbij ik de opleggingen als veren idealiseer en het geval dan als een ligger op drie verende steunpunten beschouw.

Ter bepaling van de veerconstante. Een staaf met karakteristiek L, E en A ondergaat o.i.v. een kracht P een verlenging van

\(\delta = \frac{P\cdot L}{A\cdot E}\)

(2). Als veer geldt er

\(P = k \delta\)

(2). Vergelijking 2 oplossen naar k en vergelijking in substitueren geeft

\( k = \frac{A \cdot E}{L}\)

Dit geeft dan:

<table cellpadding="0" cellspacing ="0" border="1" class="bbc">[tr][td]Staaf[/td][td]veerconstante (kN/cm)[/td][/tr][tr][td]EB[/td][td]105[/td][/tr][tr][td]CD[/td][td]63[/td][/tr][tr][td]EF[/td][td]105[/td][/tr]</table>

Resultaten uit de software:

<table cellpadding="0" cellspacing ="0" border="1" class="bbc">[tr][td]Staaf[/td][td]Kracht (kN)[/td][/tr][tr][td]EB[/td][td]9,51[/td][/tr][tr][td]CD[/td][td]3,48[/td][/tr][tr][td]EF[/td][td]2,01[/td][/tr]</table>

Vrij weinig verschil op deze wijze; mogelijk te wijten aan het feit dat het buigend moment er nu wel bij wordt betrokken. Hiermee wil ik laten zien dat het geen "gewone" ligger is.

[dirkwb]

<table cellpadding="0" cellspacing ="0" border="1" class="bbc">[tr][td]Staaf[/td][td]Kracht (kN)[/td][/tr][tr][td]EB[/td][td]9,52[/td][/tr][tr][td]CD[/td][td]3,46[/td][/tr][tr][td]EF[/td][td]2,02[/td][/tr]</table>

Alle staven ondervinden een trekkracht.

@Dirkwb: ik neem aan dat jij hetzelfde uitkomt?

Ja, mooie tabel overigens :eusa_whistle:

Edit: vreemd dat het buigend moment zo weinig invloed heeft.

[jhnbk]

Goed; ik moet even mijzelf verbeteren. Alle oplossingen hier geplaatst (buiten de veren) gaan uit van een oneindig stijve staaf onderaan. (Bij gebrek aan gegevens) Eigenlijk zou ik voor het model met de veren dat ook moeten kunnen; dit gaat niet in de de software en zodoende is er een kleine fout op (Ik koos een groot traagheidsmoment => een veel te groot profiel voor de gegeven krachten).

Indien we even aannames doen voor de onderste staaf, de berekening volgens unit dummy opnieuw doen met buigmomenten, dan zou dat volgens mij hetzelfde moeten uitkomen als met de veren. (Als ik even tijd heb zal ik dat nog wel even doen)

[oktagon]

Als ik de laatste antwoorden zie en het uitgangspunt is een oneindig stijve staaf,dan behoren de uiteinden van de trekstaven op een rechte lijn (die stijve staaf) te liggen en dat is toch bijna het geval;ik meende eerder van niet.

Rek in AB wordt 0,925 mm

in CD 0,55 mm

en in EF 0,19 mm

Gefeliciteerd met jullie uitkomst! :eusa_whistle:

[jhnbk]

Inderdaad: ik geef nog even een bewijsje:

Als ik de krachten deel door hun oppervlakte (Lengte en Elasticiteitsmodulus zijn gelijk voor alle staven en dus niet van belang) en de voorwaarde voor colineariteit in determinantvorm gebruik kom ik op:

octave> A = [0,2.02/25,1;0.4,3.46/15,1;0.8,9.52/25,1];

octave> d=det(A)

d = 1.0667e-04

d is dus zeer klein: de drie punten liggen dus, behoudens afrondingen, op eenzelfde rechte.

[oktagon]

Ik ben benieuwd met welk antwoord MAIKEL 2008 komt aanzetten als zijnde het goede (uit zijn antwoordenboek).

Het zou wel eens een zeer practisch antwoord kunnen zijn en wel dat de kracht van 15 kN alleen gelijk wordt opgevangen door AB en CD met elk 7,5 kN en dat het optredende verschil in uitrekking door het verschil in diameter een geringe rol uitmaakt maar niet zal leiden tot een verplaatsingsmoment in punt D ,omdat de ophangstaven een diameter hebben van max. 5,6 mm (ca. L/88,6) en makkelijk meegeven/verbuigen .

De staaf CD rekt door zijn geringere diameter 0,47 mm meer uit dan de staaf AB in deze beschouwing,maar geen rekening houdende met het overschrijden van de vloeigrens (optr.spanning 500N/mm²),die in de berekening van JHNBK ook gaat optreden in de staaf AB met een spanning van 380 N/mm².

Zochten we het niet veel te ver met aannames,welke ook weer uitkomsten gaven welke oa.waren gebaseerd op een virtuele stijve staaf,die nog uitgevonden moet worden! :eusa_whistle:

[PietvanVroonhoven]

Ik weet nog een simpele oplossing:

Staaf AB en CD vloeien beide, wat betekent dat de vervormingen in die staven heel groot zijn ten opzichte van EF en AF

De vervorming van de ligger en de rek van staaf EF kunnen dan op nul gesteld worden.

De rek van staaf CD is 50% van de rek van AB. Nu hangt het van het spanning-rekdiagram van staal A370 af wat de spanning in het vloeitraject van staaf AB en CD is.

Uit som momenten t.o.v. F = 0 volgt:

0,6×15kN=0,8×25mm²×spanning AB+0,4×15mm²×spanning BC