Reeksontwikkeling van arctan(x)

[Box]

Hallo,

De maclaurinreeks convergeert voor x element van [-1,1]. Omdat de afgeleiden van alle orden geëvalueerd in 0 steeds 1 uitkomen, kan je dit gemakkelijk aantonen.

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0).(z-0)^n}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\)

Deze laatste is een positieve machtreeks(PMR) rond 0 met convergentiestraal 1, onderzoek van z=1 en z=-1 toont aan dat de PMR daar óók convergeert. Daar mijn definitie van "holomorf/analytisch" luidt: "Een functie is holomorf in de omgeving van een punt als er een PMR bestaat omheen dat punt met een strikt positieve convergentiestraal die daar naar die functie convergeert". We kunnen besluiten dat de functie arctan reeds zeker holomorf is in ]-1,1[.

Hoe moet ik dat nu verder onderzoeken voor de rest van R? (complexe getallen niet, dat doen we nog niet :eusa_whistle: ) Ik zou zogezegd moeten een "algemene" gedaante kunnen noteren voor de k-de afgeleide en die dan als coëfficient gebruiken in mijn PMR, waarna ik de convergentiestraal kan berekenen voor de PMR rond een "willekeurig" punt. Probleem is dat de afgeleiden best ingewikkeld worden:

Code: Selecteer alles

f:=x->arctan(x);

 f := x -> arctan(x)

> diff(f(x),x);

  1

------

 2

1 + x

> diff(f(x),x$2);

  2 x

 - ---------

 2 2

   (1 + x )

> diff(f(x),x$3);

 2

  8 x		   2

--------- - ---------

  2 3		 2 2

(1 + x )	(1 + x )

> diff(f(x),x$4);

   3

   48 x		24 x

   - --------- + ---------

   2 4		 2 3

 (1 + x )	(1 + x )

> diff(f(x),x$5);

4		   2

   384 x	   288 x		 24

  --------- - --------- + ---------

2 5		 2 4		 2 3

  (1 + x )	(1 + x )	(1 + x )

Een paar goeie tips om er systematiek in te vinden ? Of is de aanpak fout / zoek ik het te ver?

mvg, Box

[Bart]

\(\frac{d^{n}}{dx^n} \arctan(x)=\frac{P_{n}(x)}{(1+x^2)^n}\)

\(P_{n+1}(x)=P_{n}'(x)(1+x^2)-2xP_{n}(x)\)

\(P_{1}(x)=1\)

gejat van : https://nrich.maths.org/discus/messages/114...html?1161760043

[PeterPan]

PMR? Nooit van gehoord.

Wat is de afgeleide van arctan?

Wat is de machtreeks van

\(x\mapsto \frac{1}{1+x}\)

?

[Box]

Terzijde: PMR of positieve machtreeks rond z_0, bij definitie een machtreeks van de vorm:

\(\sum_{n=0}^{\infty}a_0.(z-z_0)^n \)

Deze heeft een convergentiestraal R:

\(\frac{1}{R} = \lim_{n\to\infty}{|a_n|}^{\frac{1}{n}}\)

.

Wat PeterPan misschien bedoelt (denk ik):

In de reeksontwikkeling van 1/(1-x) (waarvan je wel gemakkelijk de ontwikkeling rond andere punten kan algemeen opschrijven: vergelijk met een meetkundige reeks) de x formeel vervangen door -t^2, dan heb ik de algemene vorm van de ontwikkeling van 1/(1+t^2), termsgewijze integreren, dan krijg je de algemene vorm een reeksontwikkeling van de arctan rond een willekeurig punt. Daar kan ik dan de convergentietest op toepassen... Ik heb het eigenlijk nog niet geprobeerd :eusa_whistle:

Wat denken jullie ?

mvg, Box

[PeterPan]

Voor

\(n \in \nn\)

:

\(\arctan^{(n+1)}(x) = \frac{n!}{x^n(1+x^2)}\sum_{k=[\frac{n+1}{2}]}^{n}(-1)^k{-1 \choose k}\frac{x^{2k}}{(1+x^2)^k}\sum_{m=[\frac{n+1}{2}]}^k (-1)^m {k \choose m}{2m \choose n}\)

[PeterPan]

De machtreeks rond 0 van de

\(\arctan\)

convergeert uniform op [-1,1] naar zijn limiet.

Voor

\(|x|>1\)

hebben we de laurentreeks gegeven door de relatie

\(\arctan(x) = \arctan(-x) = \frac{\pi}{2} - \arctan(\frac{1}{x})\)

.