Max. doorbuiging

[-tom-]

Hallo,

ik kom niet uit een vraagstuk van mechanica (en wel specifiek, Sterkteleer).

Ik moet de maximale doorbuiging bepalen van een kleine (simpele) constructie, dit meer als oefening voor een tentamen. Het vraagstuk ziet er als volgt uit



D-lijn:



M-lijn:



Een kracht van 40 [kN] wordt geplaatst op het uiteinde van een staaf, die staaf wordt op 3 meter ondersteund door een scharnier, 6 meter verder door een roloplegging. Nu kan je m.b.v. het superpositie beginsel dit vraagstuk oplossen.

Verondersteld wordt dat de E-modulus (E) en het traagheidsmoment (I) gelijk zijn over de gehele lengte van de balk (en onbekend, maar dat maakt in principe niet uit).

Het gedeelte links van het scharnier mag ik beschouwen als een vaste inklemming met een puntlast, het bijbehorende vergeet-mij-nietje is hiervoor is:

V_max=(-P*L)/(3*E*I)

Als ik P en L invul, komt hier uit V_max=360/E*I

Nu het probleem waar ik tegen aan liep, hoe moet ik het gedeelte rechts van het scharnier aanpakken? Ik weet dat het iets is met de hoekverdraaiing die bij het scharnier ontstaat. De hoekverdraaiing maal de lengte van staaf 1 is de verplaatsing in verticale richting (bij benadering).

In Sterkteleer van Hibbeler staat een vergeet-mij-nietje van een balk, met scharnier en roloplegging, en een moment bij het scharnier, om de hoekverbraading uit te rekenen, deze luidt als volgt:

θ_1=(-M*L)/(3*E*I)

θ_2=(M*L)/(6*E*I)

Waarbij θ_1=de hoek bij het scharnier, en θ_2=de hoek bij de roloplegging.

Ik heb al wat lopen pielen, maar ik kom er gewoon niet uit.

Wanneer ik het moment van 120 kNm invul, bij θ_1, komt er het volgende uit:

(-120*6)/(3*E*I)=-360/(EI)

Als ik die -360/(EI) vermenigvuldig met de lengte van staaf 1, kom ik op een verticale verplaatsing uit van -1080/(EI). Wanneer ik de verplaatsing van 360/(EI) erbij aftrek, kom ik uiteindelijk uit op 1440/(EI) uit...

Het uiteindelijke antwoord moet v_max=-1620/EI zijn. Dit is overigens voorbeeldopgave 12.6 van het boek Sterkteleer van Hibbeler, in Hibbeler is het uitgewerkt m.b.v. integralen, maar ik wil het kunnen met superpositie en vergeet-mij-nietjes.

Wie kan mij hiermee helpen? (ik heb het idee dat het voorbeeld verkeerd is uitgewerkt in Hibbeler)

[oktagon]

Nmm.wordt de rol bij 3 opgelicht door de neg.reactie en is de opgaaf bewust niet goed ofwel de voorgestelde constructie als foutief aan te duiden door de student.

Wat betekenen de blauwe pijltjes op de belastings-as?

[-tom-]

Ik heb er nog eens na gekeken, maar ik ben een moment vergeten mee te nemen in de berekening (bij de roloplegging, nummer 3). Deze was nogal onduidelijk aangegeven in de opgave. Wanneer ik deze mee reken kloppen de reactie krachten ook zoals opgegeven in Hibbeler. Ik ga er straks mee verder (ben nu bezig met wat anders). Mocht het niet lukken, dan update ik de vraag

[-tom-]

Hierbij de goede versie van het probleem:



Ik heb een D-lijn van de situatie getekend, zoals te zien is treedt er een reactiemoment van 120 kNm op in het scharnier. Wanneer ik de vergeet mij nietjes voor de hoekverdraaing bij de situatie waarbij de scharnier van de staaf wordt belast met een moment toepas

θ_1=(-M*L)/(3*E*I)

θ_2=(M*L)/(6*E*I)

kom ik er niet uit. Als ik ze op alle mogelijke manieren aftrek, of optel bij elkaar, dan kom ik er nog niet uit. Wie kan hier mij mee helpen?

[oktagon]

Je 2e Dlijn is niet goed.

De eerste D en 2e M lijn zijn goed getekend

Succes.

[-tom-]

Ik had verkeerd gekeken in mijn boek. Als extra belasting wordt ook nog die 160 kNm genoemd bij de roloplegging.

Er is dus sprake van een puntbelasting bij knoop 1, en een moment bij knoop 2 (de roloplegging).

Nu moet ik de doorbuiging bij knoop 1 weten. De lengtes kloppen wel gewoon (dus van staaf 1 is 3m, en van staaf 2 is 6m)

[-tom-]

Ik zie trouwens dat ik per ongeluk het topic in de verkeerde sectie heb geplaatst, zou iemand hem hier naar toe kunnen verplaatsen?

[TD]

Het paste hier ook, maar gezien het specifieke karakter zal ik je topic naar dat forum verplaatsen.

[oktagon]

Je 2e Dlijn is niet goed.

De eerste D en 2e M lijn zijn goed getekend

Succes.

Dit antwoord is bij nader inzien niet juist,ik vergat de invloed van het moment (een rottigheidje!) bij rol 3;als ik me niet vergis,geeft deze een buiging in de balk,die wordt opgevangen door een koppel dat een tegenmoment geeft van -160 kNm ofwel 6 meter *26,67 kN.

Als je alleen van dat optredende moment een D en M lijn maakt,zie oa,dat in punt 3 een totale kracht naar onder werkt van 6,67 kN en er gebeuren geen ongelukken.

Dus maak vervolgens een optelsom van de D en M lijn en zie oa dus de conclusie zoals ik die meen te denken in de voorgaande zin.

[oktagon]

Je 2e M-lijn lijkt me dus goed en de D-lijn wordt een optelsom als eerder vermeld !

[-tom-]

Zover was ik idd ook al.

Maar het probleem is nu dat ik de doorbuiging in punt 1 moet weten.

Volgens het boek hoort hier -1620/EI uit te komen. Ik kom hier met geen mogelijkheid op.

[oktagon]

Volgens mij is het effect van het moment (160 kNm) in 1 nul en zou dus nmm. op de doorbuiging van de balk 1>2 geen effect hebben en komt alleen die ,welke wordt veroorzaakt door de last van 40 kN,in aanmerking.

Vanuit die veronderstelling is de balk op het punt 2 horizontaal door de belasting van het moment ad. 160 kNm en zou je die voor de doorbuiging van 1 als ingeklemd kunnen beschouwen.

Dus ik ben benieuwd!

[jhnbk]

Volgens mij is het effect van het moment (160 kNm) in 1 nul en zou dus nmm. op de doorbuiging van de balk 1>2 geen effect hebben en komt alleen die ,welke wordt veroorzaakt door de last van 40 kN,in aanmerking.

Als ik begrijp wat jij wilt uitleggen is dat nonsens. Door dat moment van 160kNm zal de zakking onder de puntlast wel groter worden.

Zie ook:

Nu het probleem waar ik tegen aan liep, hoe moet ik het gedeelte rechts van het scharnier aanpakken? Ik weet dat het iets is met de hoekverdraaiing die bij het scharnier ontstaat. De hoekverdraaiing maal de lengte van staaf 1 is de verplaatsing in verticale richting (bij benadering).

Inderdaad een benadering:

Zakking ten gevolge van enkel de puntlast waarbij het scharnier als inklemming wordt beschouwd bedraagt

\(v_1 = \frac{PL^3}{3 EI }= \frac{1080 \, \mbox{kN}\,\mbox{m}^3}{3 EI }\)

De hoekverdraaiing in het scharnier ten gevolge van het moment bedraagt

\(\theta=\frac{M L}{6 EI} = \frac{160 \,\mbox{kN}\,\mbox{m}^2 }{ EI} \)

Conclusie:

\(v = v_1 + v_2 = v_1 + 3 \theta = \frac{1080 \, \mbox{kN}\,\mbox{m}^3}{3 EI } + \frac{480\,\mbox{kN}\,\mbox{m}^3 }{ EI}\)

[oktagon]

@jhnbk:

Volgens mij verloopt het moment van 160 kNm op oplegpunt 3 van 0 knM op oplegpunt 2 naar 160 kNm op punt 3.

Het buigend moment van 160 kNm treedt niet op aan een vrij uiteinde,maar ondervindt weerstand van de oplegreactie onder 3 .

De oplegreacties tgv. dat moment zouden dan 26,67kN moeten bedragen op 2 en 3 en dan wel tegengesteld.

Als het moment tgv het moment op punt 3 geen moment uitoefent op punt 2,vraag ik me af of er wel een hoekverdraaiing plaats vindt en jij een optelsom van 2 doorbuigingen creeert in je berekening.

Graag uitleg,ik leer graag bij!

[jhnbk]

Door het opbuigen van de ligger ten gevolge van het moment zal er in de eerste knoop een hoekverdraaiing zijn. Als je staaf 1 als een inklemming beschouwd zal deze dus een beetje verdraaien. De aanpak is dan wel een benadering.

Als we dezelfde ligger beschouwen met F en M in plaats van cijferwaarden krijgen we voor de momentenlijn:

\(M(x) = -Fx+\cdots+\frac{-M+9\,F}{6} (x-3)\)

De vervormingsarbeid wordt dan gegeven door

\(U=\int_{l}\frac{{M(x)}^{2}}{2\,E\,I}\mbox{d}x = \frac{2\,{M}^{2}+6\,F\,M+27\,{F}^{2}}{2\,E\,I}\)

Afleiden naar F geeft de zakking van het aangrijpingspunt van F (castigliano)

\(v = \frac{\partial U}{\partial F} = \frac{3\,M}{E\,I}+\frac{27\,F}{E\,I}\)

Invullen van de krachten:

\(v=\frac{1560 \mbox{kN}\,\mbox{m}^3}{E\,I}\)

Conclusie: de werkelijke zakking is groter dan de benadering (reden: de inklemming is geen werkelijke inklemming) & het moment levert een bijdrage aan de zakking

PS: andere methoden ter bepaling van de zakking zou eenzelfde resultaat moeten geven.