Bal in cycloon

[epistimi]

Bijlage toont 3 tekeningen die het probleem al tonen.

Je hebt een bal op de schuine wand van een cycloon die ronddraait met gegeven hoeksnelheid ω. Hierdoor kent de bal een normaalversnelling naar de centrale verticale as van de cycloon toe. In de eerste twee tekeningen (cycloon_1 en cycloon_2) worden de werkelijk optredende krachten getekend: de normaalkracht van de cycloonwand op de bal en de zwaartekracht (geen wrijving). Dit geeft echter tegenstrijdige uitkomsten: Het blijkt dat N constant moet zijn, wat het zeker niet kan zijn want deze wordt groter of kleiner bij toenemende/afnemende hoeksnelheid.

Tekening 3 toont waar het probleem vandaan komt, indien ik de normaalversnelling weglaat en deze compenseer met de centrifugale kracht. Hierbij kan er namelijk een versnelling worden getekend, de blauwe a, waardoor N wel kan variëren. Maar deze versnelling kan niet op de vorige twee tekeningen geïntroduceerd worden. Dus waar zit hier eigenlijk de fout?

[Jan van de Velde]

Het blijkt dat N constant moet zijn, wat het zeker niet kan zijn want deze wordt groter of kleiner bij toenemende/afnemende hoeksnelheid.

Hier heb je volgens mij de koe bij de staart. Gezien de hoek van de helling constant is, kán de normaalkracht ook niet anders dan constant zijn.

Wordt de benodigde centripetaalkracht F_c voor een bepaalde baan te groot om door de horizontale component van de normaalkracht F_n,hor geleverd te kunnen worden, dan zal de bal dus een wijdere baan zoeken (lees: in de cycloon omhoogklimmen) totdat (bij onveranderde baansnelheid) de hoeksnelheid zó is verminderd dat Fc weer even groot is als F_n,hor

Aan zichzelf overgelaten zal het balletje langzamer en langzamer gaan (wrijving) en daardoor een spiraliserende baan naar beneden gaan beschrijven, steeds een evenwicht zoekend tussen F_c en de constante F_n,hor.

[epistimi]

Stel echter dat achter het balletje een plaat is bevestigd en dus zo duwt tegen het balletje dat het altijd dezelfde hoeksnelheid heeft. Indien de hoeksnelheid dan zo groot is dat de erdoor ontstane centrifugaalkracht sterker is dan de zwaartekracht en zo het balletje de cycloon opduwt, dan vergroot de straal van de bal tot het centrum van de cycloon en wordt zijn snelheid groter (want ω = constant). Hierdoor wordt de centrifugaalkracht nog groter, en gaat het balletje nog sneller naar boven; een zelfversterkend effect dus.

[/list] Indien we het niet bekijken volgens de centrifugaalkracht maar met de normaalversnelling, dan is er niet echt een 'naar boven duwende kracht' te bespeuren, en de enige kracht waarvan een componente werkt volgens de cycloonwand is de zwaartekracht; dit is eerder een kracht die de bal naar beneden dwingt. Ik denk daarom dat de enige manier om hierin toch een situatie te herkennen waarin het balletje naar boven gaat, ook al is er geen (componente van een) kracht die dit zulke situatie zou kunnen veroorzaken, is een extra versnelling a te introduceren die volgens de wand wijst. Indien we dan het krachten evenwicht volgens de wand schrijven hebben we het volgende:

G *sin(α) = m*a_n * cos(α) - m *a sin(α) of G = m*a_n/ tan(α) - m*a

dus

a = a_n/ tan(α) - g

En dit is denk ik de juist methode. Indien de wand rechtopstaat, i.e. α= 90°, dan volgt hieruit a = -g, wat volledig klopt.

Ik denk dus dat ik het antwoord gevonden heb: ook daar waar ik geen centrifugaalkracht gebruikt, moet ik een a introduceren evenwijdig met de wand

[Jan van de Velde]

Ik weet niet wat voor antwoord je zoekt, maar zoals ik je redenering lees, als je als eerste een plaat achter je balletje verzint waardoor de hoeksnelheid constant blijft verzin je er een versnelling bij, en om de zaak dan weer kloppend te krijgen moet je er een tweede versnelling naar beneden bij gaan verzinnen. En zo blijf je bezig.

Vooralsnog zie ik je probleem dus alleen als een probleem zoeken waar er geen probleem is.

[epistimi]

Ik had initieel al bedoeld dat de hoeksnelheid constant blijt; de plaat die dient slechts om dit te verduidelijken. Welke versnelling komt er dan bij die er in mijn initiële beschrijving nog niet was?

[epistimi]

De fout die ik gemaakt had, is het niet toevoegen van een versnelling evenwijdig aan de cycloonwand in tekeningen cycloon_1 en cycloon_2. Dit leidde mij foutief tot de conclusie dat de normaalkracht niet mag veranderen.

En dan nog, indien niet de hoeksnelheid maar wel de tangentiële snelheid van de bal constant is, dan zal de hoeksnelheid van de bal inderdaad afnemen naarmate deze bal naar boven geduwd wordt. Het gevolg hiervan is, ondanks de toename van de straal, dat de normaalversnelling afneemt en dus ook de normaalkracht op de bal. Maar volgens de in tekening cycloon_1 en cycloon_2 bekomen resultaten zou ook dit onmogelijk zijn geweest.

[Jan van de Velde]

Ik had initieel al bedoeld dat de hoeksnelheid constant blijft;

bij een veranderende straal is zou dat in strijd zijn met de wet van behoud van energie

indien niet de hoeksnelheid maar wel de tangentiële snelheid van de bal constant is, dan zal de hoeksnelheid van de bal inderdaad afnemen naarmate deze bal naar boven geduwd wordt. Het gevolg hiervan is, ondanks de toename van de straal, dat de normaalversnelling afneemt en dus ook de normaalkracht op de bal.

Omdat de normaalkracht ook een verticale component heeft is het dát wat de bal naar boven duwt in je cycloon.

[epistimi]

De normaalkracht zelf staat loodrecht op de wand dus die kan de bal niet naar boven duwen. Het naar boven duwen is volledig te wijten aan de centrifugaalkracht.

Neem bijvoorbeeld een vloer waarop een bal ligt. Het kan nooit de normaalkracht op deze bal zijn die de bal links of rechts over de vloer doet rollen. Dit is dezelfde situatie als bij de wand, zoals je ziet wanneer je de tekening die ik van de cycloonwand in bijlage gemaakt heb een beetje roteert.