Fysische slinger

[bessie]

Sorry, dat klopte niet helemaal. Ik dacht dat je uitdrukkingen had gegeven voor omega en theta. Dat heb je ook wel, maar je hebt ze omgezet naar v en s. Voor een mathematische slinger kan dat, alleen moet je dan nog een uitdrukking vinden voor h (in m.g.h weet je wel).

Wil je uiteindelijk naar een fysische slinger, dan heb je niets meer aan v en s. Dan moet je werken met de hoek, want een FS heeft ook energie afkomstig uit het draaien, 1/2.I.omega2.

Dus geef eerst even je afleiding voor de mathematische slinger, en doe dat gewoon met 1/2 m v2 en mgh. Lukt dat, dan kunnen we beslissen of je de stap maakt naar de hoekberekening. En lukt dat voor de mathematische slinger, dan gaan we daarna kijken of het ook voor de fysische lukt. OK?

EDIT: voorlopig is het niet nodig om binnen de cos en sin de omega te vervangen door die wortelvorm. Je zal zien dat de sinus en de cosinus wegvallen voor elke sin(xt) en cos(xt).

[QuarkSV]

Na even gevraagd te hebben aan iemand, kwamen we hierop uit (zie bijlage), het zou tot daar moeten kloppen... Ik weet echter niet hoe ik de constante term moet aantonen? Zit de grondformule hiervoor iets tussen?

Noot: de topictitel is verkeerd, het zou gewoon 'slinger' moeten zijn en niet 'fysische slinger'. De vraag gaat over een slinger in het algemeen.

[bessie]

In je uitwerking heb je de kinetische energie laten staan als functie van v, maar je weet v als functie van t. Dus kun je Uk uitdrukken in t, toch? Dan krijg je dus het kwadraat van de sinus in de vergelijking, en die moet je omschrijven naar een cosinus mbv sin^2(x)+cos^2(x)=1. Als het goed is valt t dan uit de vergelijking en heb je dus aangetoond dat de totale energie niet afhankelijk is van de tijd, en dus in dit geval constant is.

[QuarkSV]

In je uitwerking heb je de kinetische energie laten staan als functie van v, maar je weet v als functie van t. Dus kun je Uk uitdrukken in t, toch? Dan krijg je dus het kwadraat van de sinus in de vergelijking, en die moet je omschrijven naar een cosinus mbv sin^2(x)+cos^2(x)=1. Als het goed is valt t dan uit de vergelijking en heb je dus aangetoond dat de totale energie niet afhankelijk is van de tijd, en dus in dit geval constant is.

Ik begrijp het tot aan mijn laatste regel, maar vanaf daar niet meer. Wat moet er nu eerst gebeuren?

[flamey]

Wat krijg je als je v (3e regel in je pdf) en theta invult (2e regel) in je uitdrukking voor E (laatste regel)? Gebruik dan wat Bessie zei en dan ben je er .

[QuarkSV]

Wat krijg je als je v (3e regel in je pdf) en theta invult (2e regel) in je uitdrukking voor E (laatste regel)? Gebruik dan wat Bessie zei en dan ben je er .

Is het niet de vierde regel die je moet invullen voor v?

Het kwadraat van de sinus, en dat moet ik dan herschrijven naar een cosinus via de grondformule?

[QuarkSV]

E = (1/2).m.L.g.θ² en omdat de energie niet meer afhankelijk is van t, kunnen we zeggen (in dit geval altans) dat E constant is. Klopt dit, bessie?

[flamey]

Wat krijg je als je v (3e regel in je pdf) en theta invult (2e regel) in je uitdrukking voor E (laatste regel)? Gebruik dan wat Bessie zei en dan ben je er .

Inderdaad de vierde regel. Misschien expliciter: je moet gebruiken dat cos(wt+phi)^2+sin(wt+phi)^2=1. θ is afhankelijk van t, θ_max niet...

[QuarkSV]

E = (1/2).m.L.g.θ² blijf ik uitkomen (zoals hierboven al gezegd). Klopt dit niet?

Ik vul ze inderdaad in en daarna vul ik omega in waardoor ik L kan schrappen in noemer en het kwadraat verdwijnt in de teller. Dan zonder ik (1/2).m.L.g.θ² af en de grondformule zorgt dan dat sin²θ+cos²θ=1 dus er blijft dan enkel nog E = (1/2).m.L.g.θ² over...

[flamey]

\(E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}mgL\theta^2\)

Vul nu v in en theta:

\(E=\frac{1}{2}mL^2\theta_{max}^2\omega^2\sin^2(\omega t+\phi)+\frac{1}{2}mgL\theta_{max}^2\cos^2{(\omega t +\phi)\)

Kun je hiermee verder?

EDIT: Eigenlijk is je antwoord goed alleen moet jij je theta door theta_max vervangen . Deze is niet afhankelijk van de tijd itt theta.

[QuarkSV]

EDIT: oké dankjewel . Inderdaad dat moet nog aangepast worden.

Dus er is nu aangetoond dat de energie niet meer afhankelijk is van t waardoor (in dit geval) je de energie dus al constant kunt beschouwen? Is dit juist?

De energie is wel nog afhankelijk van de massa m die aan de slinger hangt.

[flamey]

Dit is juist. Tijdens de slingerbeweging verandert de massa aan je slinger toch niet ? E= constant betekent constant in de tijd.

[QuarkSV]

Dit is juist. Tijdens de slingerbeweging verandert de massa aan je slinger toch niet ? E= constant betekent constant in de tijd.

Inderdaad . Bedankt voor de hulp!

Bessie zal waarschijnlijk wel kunnen bevestigen dat dit de goeie afleiding is .

[bessie]

Nee dit is niet de juiste afleiding. Want je hebt voor E de potentiele energie nog niet gebruikt.

De juiste afleiding kan ik wel geven, ik ben bang dat het anders een onbegonnen zaak wordt.

Verborgen inhoud

Je hebt gevonden dat

\(\theta=sin(t/T)\)

met

\(T=\sqrt{L/g}\)

Verder weet je

\(h=L(1-cos\theta)\)

Dus

\(E_p=mgh=mgL(1-cos(\theta))\)

Omdat theta ook een goniometrische functie is loop je daar vast. Je moet nu voor cos(t) de eerste orde benadering

\(cos(x)=1-1/2.x^2\)

gebruiken, want dat was de voorwaarde waardoor de DV uberhaupt analytisch oplosbaar was. Nu volgt

\(E_p=mgL(1-(1-1/2\theta^2))=mgL(1/2\theta^2)=1/2mgL\theta^2=1/2mgLsin^2(t/T)\)

Met

\(E_k=1/2.mv^2=1/2mglcos^2(t/T)\)

volgt nu Ep+Ek=constant

Sorry als ik je op het verkeerde been heb gezet, het was moeilijker dan ik me herinnerde.

[eendavid]

Het is allemaal niet zo moeilijk als het lijkt, je hebt zelfs de kleine hoek benadering niet nodig (uiteraard, want energie is altijd behouden), laat staan een benadering voor

\(\cos(x)\)

.

Wat moeten we aantonen

Er geldt met de notatie van aadkr:

\(E=\frac{1}{2}J\dot{\theta}^2-m g a\cos(\theta)\)

Als we willen aantonen dit een eerste integraal is, moeten we opmerken dat de afgeleide naar de tijd hiervan verdwijnt na gebruik van de bewegingsvergelijkingen

\(mga\sin(\theta)=-J\frac{d^2\theta}{dt^2}.\)

Bewijs

een eitje:

Verborgen inhoud

Inderdaad

\(\frac{dE}{dt}=J\dot{\theta}\frac{d^2\theta}{dt^2}+mga\sin(\theta)\dot{\theta}=0\)

.

edit: Is dit huiswerk?