Impuls en kracht

[Bartjes]

Ik houd het topic in de gaten.

De vergelijking die je voorstelt moet niet zo moeilijk zijn.

Tot dan.

[henkjan.bultman]

Ik probeerde gisteren iets af te leiden uit de 2 berekeningen die tot nu toe gedaan zijn, maar dat is eigenlijk niet mogelijk, omdat de afmetingen van het blokje, het materiaal en de belastingsituatie verschillen.

Ik doe beide berekeningen nog een keer kort over voor de flinter epoxylijm.

Gegevens epoxy:

\(l.b.h=16.4.0,075 m^{-3}\)

\(E = 2,0.10^9N/m^2\)

\(\nu=0,0275\)

Gegevens hamer:

\(v=3,0m/s\)

\(m=0,5kg\)

A: de veer zit vast aan het achterste zijvlak (lxh) en wordt belast met een normaalkracht

\(F_{maxA}\)

. De hamer slaat op het voorste zijvlak. De situatie is verder helemaal fictief, want het dunne epoxyvelletje zou in werkelijkheid bij een kleine kracht op lxh al gaan uitbuigen en breken.

\(K_A=\frac{l.h}{b}.E=\frac{16.0,075.10^{-6}.2,0.10^9}{4.10^{-3}}=0,6.10^6N/m\)

\(F_{maxA}=v\sqrt{k_A.m}=3.\sqrt{0,6.10^6.0,5}=1,6.10^3N\)

\(x_A=\frac{F_{maxA}}{k_A}=2,7.10^{-3}m\)

B: de veer zit vast aan het ondervlak (lxb) en wordt belast met een schuifkracht

\(F_{maxB}\)

. De hamer slaat op het voorste zijvlak van de letter die aan de lijm vastzit. Zie ook de eerdere plaatjes (de letter is niet weergegeven). De lijm wordt in werkelijkheid ook zo belast. Wel wordt verondersteld dat de de verplaatsing in het elastische stuk van de lijm valt: de lijm veert onvervormd terug. Tov de lijm is de letter star.

\(K_B=\frac{E}{2(1+\nu)}.\frac{l.b}{h}=\frac{2,0.10^9}{2(1+0,0275)}.\frac{16.10^3.4.10^{-3}}{0,075.10^{-3}}=830,5N/m\)

\(F_{maxB}=v\sqrt{K_B.m}=61,1.10^3N\)

\(x_B=\frac{F_{maxB}}{k_B}=0,074.10^{-3}m\)

Voor het verband tussen

\(k_A\)

en

\(k_B\)

vond ik:

\(k_B=k_A.\frac{b^2}{h^2}.\frac{1}{2(1+\nu)}\)

Met de uitkomsten uit de berekeningen heb ik deze afleiding gecontroleerd .

[Bartjes]

\(l.b.h=16.4.0,075 m^{-3}\)

Dit begrijp ik niet, en verder zie ik ook vreemde exponenten bij de afstanden.

[henkjan.bultman]

Ik bedoel natuurlijk: l=16mm; b=4mm; h=0,075mm.

\(l.b.h=16.4.0,075.10^{-3}m?\)

Bij de afstanden kan ik echt niets bijzonders ontdekken. mm kan je toch schrijven als

\(10^{-3}m\)

?

[Bartjes]

De berekening van situatie A klopt.

Voor situatie B vind ik een andere K_B.

[Bartjes]

\(K_B=\frac{E}{2(1+\nu)}.\frac{l.b}{h}=\frac{2,0.10^9}{2(1+0,0275)}.\frac{16.10^3.4.10^{-3}}{0,075.10^{-3}}=830,5N/m\)

Kijk eens naar wat je voor l hebt ingevuld?

[henkjan.bultman]

Ik kan het bericht niet meer wijzigen helaas. l gaat uiteraard in mm en niet in km.

Fijn dat je de berekening napluist, trouwens.

Maar de uitkomst is volgens mij wel correct.

[Bartjes]

Maar de uitkomst is volgens mij wel correct.

Als je die exponent verbetert, krijg je toch echt een andere waarde voor K_B . De rest van de situatie B heb ik nog niet nagerekend.

[henkjan.bultman]

Deze 2 foutjes stonden allebei niet in mijn kladversie op papier. Zoals je zal zien aan de hand van de rest van de berekening.

\(k_B=830,5.10^6N/m\)

[Bartjes]

De rest van de berekende waarden klopt wel, je hebt dus kennelijk wel met de juiste waarde voor K_B verder gerekend.



Edit 1: Zie nu pas je bovenstaande berichtje, dan is dat ook opgelost.

Edit 2: Het zelfde verband tussen de twee k's vind ik ook.

[henkjan.bultman]

Het intikken in LaTeX kost me nog zoveel moeite, dat andere aandachtspunten er onder lijden.

Ekin = 0; Epot = 0; dus: welterusten.

Morgenavond kan ik op zeker moment weer reageren.

Bedankt voor het nakijken.

[Bartjes]

Het intikken in LaTeX kost me nog zoveel moeite, dat andere aandachtspunten er onder lijden.

Het zal je verbazen hoe snel LaTeX went! Ik zag er zelf ook tegenop, maar als je er hier geregeld mee werkt heb je het zo door.

[henkjan.bultman]

Jouw bewering aan het begin van het topic klopte: er kan met een ogenschijnlijk tekort aan gegevens toch aan mijn vraag gerekend worden.

Vandaag een lange, hoofdzakelijk verbale vergelijking van

\(k_A\)

en

\(k_B\)

. Maar formules worden niet geschuwd.

Ik blijf me erover verbazen dat in 2 situaties, die onderling sterk verschillen, toch de wet van Hooke opgaat. De formules en afleidingen kan ik goed volgen, maar dat wil nog niet zeggen dat ik alles begrijp. Het daagt wel ergens, maar de zon komt maar niet op.

In beide modellen gedraagt het schijfje epoxy zich als een veer, hoewel de belastingsituatie sterk verschilt. Dit verschil komt tot uitdrukking in een andere definitie van de veerconstante k.

\(k_A=\frac{l.h.E}{b}\)

\(k_A\)

geeft de relatie tussen de afmetingen de de elasticiteit van het materiaal van de veer.

-hoe groter

\(A_A\)

hoe stugger de veer.

-hoe groter b hoe slapper de veer.

-hoe elastischer het materiaal (kleinere E), hoe slapper de veer.

kortom: hoe groter k, hoe stugger de veer.

\(k_A\)

is mij kristalhelder.

\(k_B=\frac{E}{2(1+\nu)}.{\frac{l.b}{h}=\frac{G.A_B}{h}\)

-hoe groter

\(A_B\)

, hoe stugger de veer.

Hier begrijp ik iets niet. De kracht loopt nu parallel met aan oppervlak

\(A_B\)

, terwijl die in situatie A loodrecht daarop gericht is. Waarom maakt het voor k niet uit hoe de kracht gericht is? Wordt de andere richting soms met G verdisconteerd?

-hoe groter h, des te slapper is de veer: dezelfde kracht geeft een grotere verplaatsing.

Tenslotte blijft materiaalfaktor G over, de ‘glijdingsmodulus’. Wat is dat toch: ‘glijden’? Even hypothetisch: hoe beter een materiaal ‘glijdt’ (bv. Een stapeltje kaarten), hoe kleiner G is en hoe slapper de veer.

\(G=\frac{E}{2(1+\nu)} \)

en

\(G=\frac{F_{maxB}.h}{A_B.x_B}\)

\(\nu=\frac{dwarsrek}{langsrek}\)

en

\(\nu=\frac{1}{2}.\frac{E.A_B.x_B}{F_{maxB}.h}\)

Het is de poissonfaktor, die het struikelblok is. Het is een getal dat de relatie geeft tussen dwarsrek en langsrek in een materiaal. Mbv de poissonfaktor valt ook de volumeverandering te berekenen.

[attachment=8691:646px_Po...vgkopie1.jpg]

Even tussendoor: als v=0,5 blijft het volume gelijk, hoe groot de kracht ook is. Dat wil ik graag checken. Het groene blokje is 4x4x4 mm. V = 64 mm3. De expansie in de x-richting stel ik op 1 mm. Dat betekent dat het rode blokje (4+2.1).(4-2.0,5).(4-2.0,5) = 6.3.3 = 54 mm3.

Wat doe ik verkeerd?

Het is mij niet duidelijk hoe ik het plaatje hierboven in de eerdere plaatjes of in situatie B moet passen. Daar was namelijk geen sprake van compressie, indrukking of volumeverandering, delta

\(x_B\)

is gewoon een verplaatsing. Dus ik ben benieuwd in welke richting er dan langs- en dwarsrek optreedt en in z’n algemeenheid: waarom is de poissonfaktor van toepassing? Dit plaatje slaat meer op situatie A met een normaalkracht, dacht ik.

Om het verhaal af te ronden:

-hoe groter de poissonfaktor, des te kleiner is G en hoe slapper is de veer. Ik verwachtte het eigenlijk het omgekeerde verband.

Tenslotte een frappant voorbeeld: rubber.

\(\vu=0,5;E=0,05.10^9N/m^2;G=0,017.10^9/m^2\)

Ondanks hoge elasticiteit verandert het volume niet als er aan getrokken wordt, terwijl het volume van hardere materialen als epoxy of titanium dan wel groter wordt. De elasticiteit van een materiaal zegt dus niets over de poissonfaktor, het is een totaal andere materiaaleigenschap.

Mijn belangrijkste vraag is hoe ik de poissonfaktor in de de formule van

\(k_B\)

moet interpreteren.

[Bartjes]

Kijk eens hier:

http://nl.wikibooks.org/wiki/Mechanica_van...n/Wet_van_Hooke

bij het stukje "Rek haaks op aangebrachte spanning".

Dat geeft een eenvoudige definitie van de Poisson-factor.

Wat is nu het probleem? We kunnen wel proberen het verband tussen E en G te bewijzen? Ik weet niet of dat lukt, maar het is wel een interessante uitdaging...

[henkjan.bultman]

Dat bewijs stellen we nog maar even uit, maar als ik het niet op een andere manier te pakken krijg, klop ik daarvoor nog wel bij je aan.

Het artikel ken ik in een iets andere vorm.

Het probleem is dat ik niet inzie waarom de poissonfaktor van toepassing is in situatie B, ik zie niet in waar rek en volumeverandering optreedt, ik zie alleen maar een verschuiving. In situatie a zie ik wel dat het volume kleiner wordt, maar voor de berekening van

\(K_A\)

is dat van geen belang.

Of is de poissonfaktor altijd van toepassing als er een (schuif)spanning is?