nyquistplot-versterking

[induing]

hoi,

als ik nyquistdiagram plot van 1/(s+1) bekom ik een halve circel die in het 4de kwadrant gelegen is

indien ik dit systeem simuleer met simulink en sinus aanleg (grote frequentie of lage frequentie) dan zie ik duidelijk dat ofwel éénheidsversterking of afzwakking => dit volgt uit de functie

nu heb ik eens volgend proces bekeken: 1/(s-1), nyquistplot toont curve in 3de kwadrant

echter als ik simuleer dan zie ik dat voor grote frequentie er geen afzwakking optreedt van amplitude, nochtans volgt uit de nyquistplot wel dat er wel afzwakking moet zijn...

oh ja, ik las dat dit proces instabiel is: maar uit de nyquistplot volgt toch dat de amplitudeversterking nergens oneindig groot wordt??

enorm bedankt voor de hulp!

[EvilBro]

\(\frac{1}{s-1} \rightarrow \frac{1}{j \omega-1} = \frac{1}{j \omega-1} \frac{j \omega + 1}{j \omega+1} = \frac{j \omega + 1}{-\omega^2-1} = (\frac{-1}{1 + \omega^2}) + j (\frac{-w}{1 + \omega^2})\)

Het probleem van deze functie lijkt me de situatie

\(\omega = 0\)

. Dan wordt de overdracht -1. Dat wil dus zeggen dat als je deze functie terugkoppelt dat er dan versterking veroorzaakt wordt.

Het is trouwens aan jouw bericht moeilijk te zien wat je precies doet. Dat maakt helpen lastiger.

[induing]

wel nou, stel ik heb een ingang: sin(t) ; dus met pulsatie 1

het systeem is nog steeds: 1/(s-1)=G(s)

g(t):e^t

als ik de convolutie bepaal van sin(t) met proces g(t) dan bekom ik het systeemantwoord van het procesje op ingang = sin(t)

ik heb deze uitgewerkt : antwoord a(t)=0.5*(e^t-sin(t)-cos(t))

indien we nou de limiet bekijken (hoeft zelfs de limiet niet te zijn) dan zie ik dat a(t) oneindig groot wordt

maar als ik kijk in het bode en nyquist plot dan zie ik nergens een teken dat de amplituderespontie oneindig groot wordt...

dit proces zal dus een sinus (oneindig) versterken, maar uit het nyquistplot blijkt toch nergens dat dit zo is

nogmaals bedankt voor de snelle hulp!

[ZVdP]

Dat komt omdat die amplituderespons enkel kijkt naar het periodische deel van het uitgangssignaal. Bij een stabiel systeem is dit nadat de transients zijn uitgedempt. Bij een instabiel systeem, zoals je zelf al hebt gevonden, dempen deze termen niet uit.

Als je kijkt naar je oplossing is deze periodische respons eindig, namelijk -0.5*(sin(t)+cos(t)) Dit is gelijk aan

\(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(t+\frac{\pi}{4})\)

De versterking die je van de transferfunctie krijgt is:

\(\frac{1}{|j+1|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Dit komt dus overeen met de volledige berekening. Alleen wordt de transient term niet in beschouwing genomen door die techniek. De amplitudekarakteristiek alleen zegt dus niets over (in)stabiliteit.

[EvilBro]

De Laplacegetransformeerde van de sinus:

\(\frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2}\)

dus het hele systeem:

\(\frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2} \frac{1}{s-1}\)

\(\frac{\omega_0}{(j \omega)^2 + \omega_0^2} \frac{1}{j \omega-1} = \frac{\omega_0}{\omega_0^2 - \omega^2} \frac{-1 - j \omega}{1 + \omega^2}\)

Daaraan is te zien dat er een probleem is als

\(\omega = \omega_0\)

.

De reden waarom je dat niet kan zien aan de oorspronkelijke plot is omdat er ook inputs zijn die een stabiele uitgang opleveren.

Ik vraag me trouwens wel af of dit wiskundig allemaal helemaal in de haak is, want bij de transformatie van e^t moet volgens mij gelden dat Re(s) > 1. Misschien dat ik dat thuis nog even nakijk...

[EvilBro]

Ik twijfel aan mijn antwoord hierboven... ik zal eens kijken of ik kan vinden hoe dit ook alweer zit.

[ZVdP]

Welk probleem zie jij nog?

De transferfunctie geeft het steady-state respons antwoord op een sinusexcitatie. En die geldt ook voor onstabiele systemen, alleen convergeer je daar niet naar die steady-state oplossing.

Dat zie je hier ook. De transferfunctie geeft een amplitude van 1/sqrt(2) en een fase van -0.75pi voor w=1. Dat resultaat krijg je ook bij de inverse Laplace transformatie van

\(
L^{-1}(\frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2} \frac{1}{s-1})=0.5e^t+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(t-\frac{3\pi}{4})
\)

[induing]

dus indien ik een nyquistplot te krijgen heb, dan stellen deze enkel de verhouding voor tussen de sinusoidaal varierende componenten van het uitgangssignaal tov. het (volledige) ingangssignaal?

in mijn voorbeeld overheerste de exponentiele component dus de transferfunctie genereert voor elke mogelijke sinusoidale input een ouput die enkel blijft stijgen...

De reden waarom je dat niet kan zien aan de oorspronkelijke plot is omdat er ook inputs zijn die een stabiele uitgang opleveren.

bestaan er input die wel fysisch bestaan waarbij wel die transiente verschijnselen uitdempen, kun je mss. een (reken)voorbeeldje geven?

fijn om een duidelijke uitleg te verkrijgen

[ZVdP]

Als je een signaal neemt met (s+1) in de teller, valt die pool weg en verdwijnt de e^t term in de uitkomst. In de praktijk echter is zoiets moeilijk realiseerbaar natuurlijk, aangezien elke mismatch uiteindelijk die exponentiële term weer naar boven haalt.

[induing]

Heb het ff uitgewerkt: sin(t)*e^t geeft als systeemantwoord dan a(t)=0,5*(sin(t)+cos(t)-e^(-t))

Dus ik zie dat de exponentiel term (transiente) wegvalt en enkel een perfect harmonisch trilling overbrlijft.

Resultaat dus ifv. pulsatie wordt dan in complexe vlak uitgezet..

Nog een klein bijvraage: ik weet dat indien ik een impulsfunctie (Dirac impuls) aanleg dat het antwoord de inverse Laplace getransformeerde is van de tf .

Maar de impulsfunctie kan worden geschreven als combinatie van sinussen met alle mogelijke frequentie's.

Mag ik het daarom logisch vinden dat de nyquistplot dan ook logischerwijs uit de tf volgt.

Immers alls frequentie's zitten vervat in de impuls.

zowat juist invulling?

[ZVdP]

Wat bedoel je juist me je laatste vraag?

De nyquitplot is gewoon een plot van de transferfunctie gesweet over de frequentie in het complexe vlak (of polaire coordinaten)

[induing]

Wat bedoel je juist me je laatste vraag?

Mss. vaag omschreven.

Stel de input is een dirac impus, dan zal voor 1/(s-1) er een instabiel systeemantwoord zijn.

Nu weten we ook dat de inverse Laplace van de tf, het systeemantwoord is op een dirac impuls.

Wat het nyquistplot betreft: dit is de verhouding tussen de systeemrespons en de input. Zoals reeds boven beschreven...

Alsek beide samevoeg, dan kom ik tot besluit dat nyquistplot dus ook voorstelt: de verhouding van de systeemuitgang bij dirac als input, tov. deze dirac....

Laplace van Dirac = 1, dus wordt de nyquistplot gewoon de plot van de tf.. Hetzelfde als waaneer ik frequentie analyse zou doen van de tf.

is dit zinnig?

groeten

[JKZ]

Je verbaast je erover dat de Nyquistplot op verzwakking duidt en er toch een kanjer van een output uitkomt?

De Nyquistplot zegt iets over betrekking input-output bij sinusoïdale signalen in de stationaire toestand. Daar kan dan altijd nog een inschakelverschijnsel bovenop komen, dat in het stabiele geval uitsterft.

Maar in het instabiele geval sterft het niet uit en overschreeuwt het sinusoïdale signaal waar Nyquist over gaat.

Nog even over het bijvraagje: je hebt het goed gezien. Ieder signaal (met bizarre uitzonderingen) is op te vatten als een som van sinusoïdale signalen. En aangezien bij een lineair systeem de resposie op een som de som is van de afzonderlijke responsies, ligt met de Nyquist plot in principe vast wat het systeem zal doen met willekeurige signalen. Hierbij stabiliteit verondersteld.

Maar in principe, dat wil nog niet zeggen dat het altijd zo makkelijk is uit te rekenen.

Wel kun je uit de Nyquistplot op het oog al wat indruk krijgen.

Stel je voor dat het de responsie voorstelt van de slingerhoek van een schip op moment om de langsas, en je constateert een enorme voorkeur voor frequenties rond de omega =1. Dan ben je al gewaarschuwd hoe het aan boord zal zijn bij slecht weer, je kunt flinke slingerbewegingen verwachten met een periode van rond de 6 seconden.

Misschien is dit denkbeeldige experiment leerzaam.

Je kunt er een stabiel systeem van maken door een een geschikte terugkoppeling aan te brengen.

Breng op de ingang van dit teruggekoppelde systeem een sinusvormige input aan. Nu sterft het inschakelverschijnsel uit en ook aan de ingang en uitgang van je 1/(s-1) heb je sinusoïdale signalen. De verhouding van output tot input bij je 1/(s-1) voldoet aan de Nyquistplot.