Massatraagheidsmoment bepalen samengesteld lichaam

[lisette--]

Hallo allemaal,

Op dit moment zit ik met een bepaald vraagstuk waar ik niet helemaal uit kom.

Ik moet van onderstaand figuur het massatraagheidsmoment bepalen om de 1-as en 2-as.

Opgave_dynamica 2094 keer bekeken

Ik weet hoe ik het massatraagheidsmoment moet berekenen om de 2-as, omdat deze as door het massamiddelpunt gaat van alle drie de afzonderlijke lichamen. Het totale massatraagheidsmoment kan ik dan berekenen door van ieder afzonderlijk lichaam (dus 2 vlakke platen en een cilindermantel) het massatraagheidsmoment te berekenen om de 2-as en deze dan vervolgens bij elkaar op te tellen.

Maar hoe moet ik dit aanpakken als ik het massatraagheidsmoment van het totaal om de 1-as moet berekenen? Het massamiddelpunt van de 2 vlakke platen ligt namelijk niet op de 1-as. Kan iemand mij een tip geven hoe ik dit moet aanpakken? Moet ik dan iets doen met de afstand tussen het massamiddelpunt van het vlak en de 1-as?

Alvast bedankt!

[In physics I trust]

Terechte opmerking hoor. Je kan ze inderdaad niet zonder meer optellen; je moet het lichaam 'transfomeren' naar dezelfde as door een term in te voeren die rekening houdt met de afstand. Hoe je dat doet, wordt verteld door de stelling van Steiner.

[Anton_v_U]

Massatraagheidsmoment van een puntmassa op afstand r van de rotatieas wordt gegeven door: I = m r². .

Hierin is r de afstand tot de rotatieas. Voor een algemeen lichaam is dit uit te rekenen met een volumeintegraal met m = ρdV wordt het traagheidsmoment de integraal over r²ρdV. ρ hoeft niet constant te zijn: integreer over r²ρ( r )dV

Massatraagheidsmoment van de (dunne) cilinder ten opzichte van (1) is triviaal aangezien alle massa op afstand r van de as zit.

Voor de flappen is het een beetje moeilijker.

Als je gebruikmaakt van massa per oppervlakte eenheid krijg je een oppervlakte integraal. Die vereenvoudigt weer tot een lijnintegraal als je rekent met een strookje op constante afstand tot de draaias:

Beschouw een strookje van de flap evenwijdig aan de as op afstand r van de as en met breedte dr. De massa van dat strookje is dan: l x dr x ρ met ρ de massa per oppervlakte eenheid (dunne flap). Het traagheidsmoment van dat strookje t.o.v. as 1 is dan:

I = r² x l x dr x ρ (met eerste l een ie 2e l een el).

Integreren tussen r en 3 r levert I = 26/3 ρ r³ (met I een ie)

[lisette--]

Anton_v_U ik snap niet helemaal wat je bedoeld, maar ik heb een poging gedaan.

De stelling van steiner houdt dus het volgende in;

I_z' = I_z + d² * m

Daarbij geldt:

d = afstand van het massacentrum tot de beschouwde as, dus de afstand tussen beide assen.

m = massa van het voorwerp

Ik heb even een tekening gemaakt, waarbij ik even aan één zijde de plaat heb weggelaten.

Opgave_dynamica_2 2118 keer bekeken

Ik heb eerst het massatraagheidsmoment van de plaat om de z-as berekend, dus door het massamiddelpunt van de plaat (met massa m₂)

Het massamiddelpunt is dan:

I_z= 1/3 * m₂ * r²

(Dus niet I_z= 1/12 * m₂ * r², want je moet integreren over -r tot r en niet over -r/2 tot r/2)

Als ik dan dit invul in de stelling van steiner;

I_z' = I_z + d² * m

I_z' = (1/3 * m₂ * r²) + (2r)² * m₂

Dus het massatraagheidsmoment van de plaat t.o.v. de 1-as is

1/3 * m₂ * r² + m_2*4r²

Het totale massatraagheidsmoment van het samengestelde lichaam moet dan het volgende zijn; (Het massatraagheidsmoment van de cilinder (met massa m₁) is simpelweg m₁ * r². Dit omdat eigenlijk alle massa op dezelfde afstand ligt van de omwentelingsas.)

I_z,totaal= I_z,cilinder + I_z,plaat + I_z,plaat

I_z,totaal= (m₁ * r²) + (1/3 * m₂ * r² + m_2*4r²) + (1/3 * m₂ * r² + m_2*4r²)

I_z,totaal= (m₁ * r²) + 2*(1/3 * m₂ * r² + m_2*4r²)

I_z,totaal= m₁ * r² + 2/3 * m₂ * r² + 2*m_2*4r²

I_z,totaal= m₁ * r² + 26/3 * m₂ * r²

Klopt dit?

[Anton_v_U]

Dit lijkt me helemaal correct. Mijn uitwerking was dat niet: in mijn laatste formule was de l (el) weggevallen, sorry.

Voor een flap: I = 26/3*ρ*l*r³

met ρ*l*2r = m₂ krijg je voor één flap: I = 13/3 m₂ r².

Voor twee flappen en de cilinder komen we dus op hetzelfde uit. Omdat jij tussen -r en +r integreert (andere as) moet je Steiner nog toepassen om de rotatieas te verschuiven. Dat is een extra stap maar het klopt natuurlijk perfect.

[In physics I trust]

Klopt!