Ik heb op het moment niet heel veel tijd over, dus ik kan niet overal diep op ingaan. Misschien later wel
Ik pik deze er even uit.
HansH schreef: ↑wo 16 okt 2019, 16:08
flappelap schreef: ↑wo 16 okt 2019, 12:30
\(
ds^2 = g_{\mu\nu} dx^{\mu}dx^{\nu} = g_{00}dx^0 dx^0 + g_{01} dx^{0}dx^{1} + \ldots
\)
De SRT is slechts het bijzondere geval waarvoor we voor g_{\mu\nu} de Minkowskimetriek kiezen. Bovenstaand lijnelement met algemene metriek is invariant onder ALLE transformaties, en is dus hetzelfde voor ALLE waarnemers, versnellend of niet, in een zwaartekrachtsveld of niet, etc.etc.
ok, dus voor het begrip is de simpele vergelijking el te gebruiken, maar die moet je nog uitbreiden voor het meest algemene geval inclusief massa, versnelling etc. Alleen zit ik dan weer op het punt dat ik eerst moet zien te doorgronden wat er precies mee bedoelt wordt. Ik hoopte echter om aan de hand van een iets versimpeld geval toch het inzicht te kunnen krijgen via de simpele variant van de formule. de algemene gedachte die erachter zit zal toch immers dezelfde strekking hebben?
Ik neem even een analogie in de driedimensionale vlakke ruimte. Daar kunnen we afstanden uitrekenen tussen twee punten. Dat willen we natuurlijk zo makkelijk en overzichtelijk mogelijk doen. Daarom kiezen we meestal een zogenaamd Cartesische coördinatenstelsel (X,Y,Z), oftewel drie assen die loodrecht opelkaar staan. Dan kunnen we de stelling van Pythagoras gebruiken om de afstand R tussen 2 punten uit te rekenen:
\( R^2 = (\Delta X)^2 + (\Delta Y)^2 + (\Delta Z)^2 \)
De Delta's geven de coördinaatverschillen tussen de 2 punten aan.
Maar ik hoef natuurlijk geen Cartesische coordinaten te kiezen. Ik kan ook bolcoordinaten kiezen. Of ik kan een heel ingewikkeld coordinatenstelsel kiezen. De afstand R maalt echter niet om mijn coordinaatkeuze. De algemene uitdrukking voor de afstand R tussen 2 punten is dan ook veel algemener; de uitdrukking hierboven is het speciale geval waarin je die afstand uitdrukt in Cartesische coordinaten. En we hebben het hier over vlakke ruimtes, maar we kunnen ook prima afstanden definieren voor gekromde ruimtes. De uitdrukking voor de afstand is dan iets dat geïntegreerd moet worden, waardoor je de Delta's vervangt door differentialen. Kortom: de algemene uitdrukking voor afstand is veel algemener; de uitdrukking hierboven is het bijzondere geval van Cartesische coordinaten in een vlakke ruimte.
In de relativiteitstheorie geldt iets soortgelijks. In een vlakke ruimtetijd kunnen we inertiaalwaarnemers kiezen die ruimtelijk gezien Cartesische coördinaten kiezen. Deze zullen voor de afstand tussen twee gebeurtenissen het welbekende
\( (\Delta s)^2 = -c^2 (\Delta t)^2 + (\Delta X)^2 + (\Delta Y)^2 + (\Delta Z)^2 \)
gebruiken. Voor andere waarnemers wordt deze uitdrukking i.h.a. ingewikkelder. Bovenstaande uitdrukking is slechts de meer algemene uitdrukking (waarbij je sommeert over mu en nu; je krijgt dus zestien termen, waarvan tien echt onafhankelijk zijn)
\( (\Delta s)^2 = g_{\mu\nu} \Delta X^{\mu} \Delta X^{\nu} \)
uitgedrukt in een coordinaatstelsel waarmee je inertiaalwaarnemers beschrijft. Maar ook hier maalt de uitdrukking niet om de coordinaten die jij gebruikt; deze uitdrukking is een zogenaamde scalair en neemt dezelfde waarden aan voor elk coordinaatstelsel (= waarnemer).
Niet elke uitdrukking is echter een scalair in de relativiteitstheorie. De tweede wet van Newton, die relativistisch ook nog opgaat (maar dan uitgedrukt in ruimte en tijd), is een notoir tegenvoorbeeld. Als je deze uitdrukt voor inertiaalwaarnemers in een vlakke ruimtetijd, dan krijg je een simpele uitdrukking. Ga je echter naar een versnelde waarnemer, dan krijg je extra termen. Die extra termen noemen we "inertiaalkrachten" of "schijnkrachten". De meest algemene vorm van "Newtons 2e wet" is de geodetenvergelijking. Deze vergelijking heeft dezelfde vorm voor ALLE waarnemers. Voor gekromde ruimtetijden, zoals zwarte gaten, wordt deze uitdrukking ook een stuk ingewikkelder.
Hoop dat je hier wat mee kunt
Kan niet zoveel reageren de komende tijd
.