sciencetalk

Human schreef: ↑za 27 feb 2021, 21:45 Tempeller,

Het is geen reeks ... maar een formule voor x^n

Professor Puntje,

Kan een paar foto's of een paar scans aub

Je formule is dat wel hoor.
Dat komt door de sigma's er in die creëren nu eenmaal reeksen.

Professor Puntje schreef: ↑za 27 feb 2021, 22:13 Ik denk nu dat we het beter in de richting van pseudo-machten kunnen zoeken. Zie: http://www.fi.uu.nl/wiskrant/artikelen/ ... wtbi46.pdf

Je kunt de formule zodanig herschrijven dat x^m gelijk wordt gesteld aan een polynoom in pseudo-machten. Helaas kan ik over pseudo-machten verder niet erg veel vinden...

Het staat daar niet echt duidelijk.

De hoofddefinitie is erg eenvoudig:

$$x^{[n]}= x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \cdot ............. x-\overline{n-1}) $$

Als x natuurlijk dan is de pseudo-macht 0 als n>x

Ze kan breder gemaakt worden met een tweede parameter.

Tempeller,

Ook interessant, maar voorlopig blijf ik graag bij de / mijn formule met gehele machten .

Aan allen,

In afwachting van wat nog moet komen.
De basis verschillen voor de machten zijn CONSTANT

voor x^1 zijn ze 1,1
voor x^2 zijn ze 1,3,2
voor x^3 zijn ze 1,7,12,6
voor x^4 zijn ze 1,15,50,60,24
voor x^5 zijn ze 1,180,390,360,120,
enz .....

Merk op dat voor ALLE machten geldt dat de afwisselende + en - van de basis aantallen ... 0 (nul) is.

vb voor x^3 ....... +1-7+12-6 =0
vb voor x^4 ....... +1-15+50-60+24 = 0

...............................................
Verder is 1!.2!.3!.4!.5! ......... n! = 1^(n-0).2^(n-1).2^(2-2).4^(n-3).5^(n-4 .......
Simpel voorbeeld: 1!.2!.3!.4! = 1^4.2^3.3^2.1^1

Human schreef: ↑zo 28 feb 2021, 10:07 Merk op dat voor ALLE machten geldt dat de afwisselende + en - van de basis aantallen ... 0 (nul) is.

vb voor x^3 ....... +1-7+12-6 =0
vb voor x^4 ....... +1-15+50-60+24 = 0

Tenxij x≤m+1, dan is de uitkomst x^m = 1.x^m
Dan zijn alle waardes 0 behave die voor x^m

Human schreef: ↑zo 28 feb 2021, 10:07 Verder is 1!.2!.3!.4!.5! ......... n! = 1^(n-0).2^(n-1).2^(2-2).4^(n-3).5^(n-4 .......
Simpel voorbeeld: 1!.2!.3!.4! = 1^4.2^3.3^2.1^1

Dat is triviaal.
(1).(1.2).(1.2.3).(1.2.3.4)=1⁴.2³.3².4¹

Xilvo,

Jij bent helemaal mee .
Maar kan U het eerste ( de + - ) bewijzen aub?

Het tweede is natuurlijk triviaal ..... maar toch elegant ....op een zondag.

http://oeis.org/wiki/Factorial_polynomi ... olynomials

Was bovenstaande link al langsgekomen?

PP,

In verband met de eerste (+ -) eigenschappen van de basis verschillen.
WIE KAN DAT BEWIJZEN ? .... de basis aantallen voor x^n natuurlijk ..... niet voor een welbepaalde macht.

Hierbij nog eentje die voortvloeide uit mijn oude studie.

x^n = 1^n (A) +2^n (B) -3^n (C) ......... + (n+1)^n (Z)

Waarbij dat de letters A,B,C, ...... (Z) (en desnoods meer dan 26 letters) een natuurlijk geheel getal inclusief 0 zijn.
WIE KAN DAT BEWIJZEN ?

PP,

Ik las met aandacht uw link.
Oei !

Xilvo,

De moed zakt mij in de schoenen ... heb ik weer het "warm water" uitgevonden ?

Als je je formule herschrijft in de vorm van een polynoom in pseudo-machten dan kun je die herschreven formule vergelijken met:

http://oeis.org/wiki/Factorial_polynomi ... econd_kind

Maar het is geen polynoom. Het is een gewogen gemiddelde van verschillende getallen tot dezelfde macht.

Xilvo schreef: ↑do 25 feb 2021, 21:22 Dit moet de formule zijn:

\(x^m=\sum\limits_{i=0}^{m}\left(\begin{array}{cols} {x-1} \\i \end{array}\right)\sum\limits_{j=0}^{i}\left(\begin{array}{cols} {i} \\j \end{array}\right)(-1)^j(i+1-j)^m\)

waarbij

\(\left(\begin{array}{cols} n \\k \end{array}\right) \)

nul is indien k>n of n<0 of k<0

In Python:

Code: Selecteer alles

x=5
m=3
sm=0
for i in range(m+1):
    bf=comb(x-1,i)
    sm2=0
    for j in range(i+1):
        sm2+=comb(i,j)*(-1)**j*(i+1-j)**m
    sm+=bf*sm2
    
print(sm)

Zo - dit is de formule. Nu kun je uit de binomiaalcoëfficiënten pseudo-machten van x-1 peuteren en dan het rechter lid van de formule als een polynoom in die pseudo-machten schrijven.

Hier staat hoe dat gaat: https://math.stackexchange.com/question ... -factorial

Dat is weer een andere notatie.

Er zijn generaliseringen mogelijke bekendste is deze.
Hierbij is p de stapgrootte.

p=0 geeft dan de gewone macht.

https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_ ... Definition

De puzzelstukjes beginnen op hun plaats te vallen...