\(Oke, de rij a_{0}, a_{1}, a_{2}, ... met a_{j} = \frac{1}{2^j} convergeert naar \nul.\)
\(Ik ga een rij b_{j} maken, waarbij voor a\lle j geldt: 0<b_{j}<a_{j}\)
\(Neem b_{0} = [x] < a_{0} = 1.\)
\(b_{1} = [n_{1}x], b_{2} = [n_{2}x], b_{3} = [n_{3}x], ... met 1<n_{1}<n_{2}<n_{3}<... en n_{j} zijn geheel.\)
\(Nu is b_{j} een deelrij van [x], [2x], [3x], [4x], ...\)
Welke stellingen ga ik gebruiken:
Stelling 1. Voor elke [y] (y is niet rationeel) bestaat er een k (geheel) zodat [ky] < [y].
Stelling 2. Voor elke [y] (y is niet rationeel) bestaat er een m (geheel) zodat [my] < [y]/2.
Ik toon aan dat stelling 1 waar is:
neem de kleinste veelvoud Y van [y] dat groter is dan 1.
k = Y/[y]
(1) 0<(k-1)[y]<1, dit volgt uit het feit dat k[y] de kleinste veelvoud van [y] is, dat groter is dan 1.
(2) 1<k[y]<2, volgt ook uit het feit dat k[y] de kleinste veelvoud van [y], groter dan 1, is.
(3) 0<k[y]-1<1, volgt uit (2).
(4) [ky] = k[y] - 1, volgt uit (3).
(5) k[y] - (k-1)[y] = [y]
(6) k[y] - 1 < [y], dit volgt uit (1) en (5).
(7) [ky] < [y], dit volgt uit (4) en (6).
Noem d = [y] - [ky]
(8) (k-1)[y] = k[y] - [y] = 1 + [ky] - [y] = 1 - d, hier wordt (4) gebruikt.
(9) (k-1)[y] = -d + 1, zelfde als (8).
2(k-1)[y] = -2d + 2, hier wordt (9) gebruikt.
3(k-1)[y] = -3d + 3, hier ook.
4(k-1)[y] = -4d + 4, en hier.
5(k-1)[y] = -5d + 5, hier nog eens.
...
(10) h(k-1)[y] = -hd + h, hier nog eens; dit zullen we gebruiken om aan te tonen dat de tweede stelling klopt.
Ik toon aan dat stelling 2 waar is:
Neem het grootste veelvoud D van d dat in [y] past.
q = D/d
0 < [y] - D < [y]/2
0 < [y] - qd < [y]/2
[y] + q(k-1)[y] = [y] - qd + q, hier wordt (10) gebruikt.
(1+q(k-1))[y] = [y] - qd + q
[ (1+q(k-1))[y] ] = [ [y] - qd + q ]
[ (1+q(k-1))y ] = [y] - qd < [y]/2
\(Inductie: stel dat we een n_{j} hebben gevonden met b_{j} = [n_{j}x] < a_{j}.\)
\((voor b_{0} = [x] geldt al dat dit kle\iner is dan a_{0} = \frac{1}{2^0} = \frac{1}{1} = 1)\)
\(Noem dan [y_{j}] = [n_{j}x]\)
\(Dan is er, vo\lgens mijn tweede st\ell\ing, een r_{j} te v\inden zoda\nig dat [r_{j}y_{j}] < [y_{j}]/2 = [n_{j}x]/2 = b_{j}/2.\)
\([r_{j}y_{j}] = [ r_{j}[n_{j}x] ] = [r_{j}n_{j}x] =: b_{j+1}< b_{j}/2 < a_{j}/2 = a_{j+1},\)
\(oftewel: we hebben een n_{j+1} = r_{j}n_{j} en b_{j+1}=[n_{j+1}x] , met b_{j+1} < a_{j+1}.\)
Ziet er ingewikkeld uit he. Mooi.
Nu de vervolgvraag op raadsel 3:
Je zit met een aantal vrienden aan tafel in een kroeg. Vóór je staat een glas bier waar nog niemand van geproefd heeft. Je neemt er een slok van en geeft het vervolgens door aan een buurman. Willekeurig naar links of naar rechts (beide met kans 0,5). Die buurman doet hetzelfde: een slok nemen en willekeurig doorgeven naar links of naar rechts. En zo gaat dat alsmaar door. Het bier beweegt daardoor vrij willekeurig heen en weer rond de tafel. Het zou daarom best lang kunnen duren voordat sommigen het bier voor het eerst te proeven krijgen.
Welke persoon aan tafel heeft de grootste kans de
1-na-laatste te zijn die het bier krijgt te proeven? (neem aan dat het glas nooit leeg raakt).
3) personen (0,1,2, ..., n) en veronderstel dat de stelling juist is voor n personen.