sciencetalk

Maar eerst moeten we uit de posities van het eindpunt E en het verdraaide punt D nog afleiden wat de lengte van het boogje DE over het boloppervlak is.

Om de oplossing van dit probleem te vergemakkelijken voeren we twee extra hulppunten C en F op het boloppervlak in. In onderstaande tekening staan ze aangegeven:
De opeenvolgende punten C, D, F, E en opnieuw C kunnen we met behulp van rechte lijnstukjes (vanwege de bolling van het aardoppervlak) dóór de aarde heen met elkaar verbinden. Gezien de symmetrie van de situatie levert dat een gelijkbenig trapezium op (EC = FD). De lengte van de rechte lijnstukjes CD, EC en EF lezen we af uit de onderstaande plaatjes:
.
.
.

Onderstaand zien we een tekening van het gelijkbenige trapezium CDFE.
Het is ons nu te doen om de diagonaal DE. De tekening leert ons dat:
,
,
,
,
.

Maar EC = FD , zodat:
.

Invullen van de gevonden formules voor EC, CD en EF geeft:
,
,
,
.

De lengte d van het (kortste) boogje tussen D en E over het boloppervlak vinden we met behulp van het onderstaande plaatje:
We zien dat:
,
,
,
.

Invullen van geeft:
.

Meer informatie over de in het vorige bericht (# 122) afgeleide formule is ook hier te vinden:

http://en.wikipedia.org/wiki/Haversine_formula

Daar staan ook links die mogelijk later van pas komen als het op uitrekenen aan komt.

Om een mogelijk punt van verwarring te voorkomen: het verdraaide punt D en het eindpunt E worden gemeten in het niet-roterende referentiestelsel. Direct ná het neerkomen van de springer zijn de daarmee corresponderende punten op de aardkorst al weer verder gedraaid. Laat ons er eens van uit gaan dat het punt op aarde vanwaar de springer zijn sprong begint op de aardkorst gemarkeerd is. Deze markering bevindt zich dan op het moment dat de springer afzet op het punt B. Op het moment dat de springer neerkomt bevindt de markering zich op het punt D. De springer zelf komt neer in het punt E. Vanaf de draaiende aarde gezien zal men op het moment van neerkomen de lengte d van het boogje tussen D en E interpreteren als de afwijking (gemeten over het aardoppervlak) tussen de plaats van afzetten en de plaats van neerkomen. Maar vanuit het niet-roterende referentiestelsel zou dat het boogje tussen B en E zijn! Hoewel we dus rekenen in een niet-roterend referentiestelsel is het ons om de interpretatie gezien vanaf het draaiende aardoppervlak te doen. Daarom zullen we d toch de "afwijking" noemen.

Na al deze voorbereidende berekeningen zijn we nu klaar voor het echte werk: in de volgende berichtjes zal ik met de Wetten van Kepler aan de slag gaan.

Wordt dit probleem niet zo mooi door de relativiteitstheorie opgelost? Stel je zit in een boot onder het dek. De boot staat stil. Jij springt omhoog en zult netjes op de zelfde plaats als je voorheen stond landen. Vervolgens laat jij de boot in een willekeurige snelheid varen. En doet precies hetzelfde experiment. En voíla, je zult op precies de zelfde plek als voorheen landen. JE MERKT GEEN VERSCHIL IN BEIDE SITUATIES. Wat ik hier duidelijk probeer te maken is dat bewegingen relatief ten opzichte van elkaar zijn en dat je bij een constante snelheid precies dezelfde natuurwetten zult waarnemen als mensen die ook een constante of geen snelheid ondergaan.

Wellicht door de draaiende beweging van de aarde onderga je een versnelling, maar die versnelling is (volgens mij) in zo'n lage mate dat dat geen invloed heeft deze volgende proef?

Ik hoop dat ik mijn standpunt duidelijk heb gemaakt, hoewel die misschien niet helemaal duidelijk verwoord is.

Je hebt volledig weten te missen dat het juist ging om er achter te komen wat het effect van de draaiing was. Dat dit effect voor de meeste praktische situaties te verwaarlozen is, is allang bekend en niet van belang.

Het gaat om de situatie van een persoon die gezien vanaf de roterende aardkorst loodrecht omhoog springt. Dit geval wordt beschouwd in een met het middelpunt van de aarde verbonden maar niet mee roterend referentiestelsel. Het punt vanwaar de springer met zijn sprong begint heet B, dat waar hij neerkomt E, en de plaats waar het punt van de aardkorst vanwaar hij zijn sprong begon is beland op het moment dat hij neerkomt heet D. De tijdsduur van zijn sprong noemen we τ. De hoek tenslotte die de springer in het vlak van zijn sprong tijdens zijn sprong aflegt noemen we β. In onderstaande tekening staat dit aangegeven:

Als ik zo kijk, zou het niet kunnen dat je aarde de verkeerde richting uit draait? Dit staat helaas nergens duidelijk geschreven wat je als draairichting neemt, maar als B zich op het noordelijk halfrond bevindt, dan zou je als je vanaf de Z-as naar de noordpool kijkt, je de bol in tegenwijzerzin moeten zien draaien. Als ik je figuren nu bekijk, dan ben je de situatie van wijzerzin aan het uitwerken, oftewel de situatie op het zuidelijk halfrond. Niet?

Als ik zo kijk, zou het niet kunnen dat je aarde de verkeerde richting uit draait? Dit staat helaas nergens duidelijk geschreven wat je als draairichting neemt, maar als B zich op het noordelijk halfrond bevindt, dan zou je als je vanaf de Z-as naar de noordpool kijkt, je de bol in tegenwijzerzin moeten zien draaien. Als ik je figuren nu bekijk, dan ben je de situatie van wijzerzin aan het uitwerken, oftewel de situatie op het zuidelijk halfrond. Niet?

De getekende bol draait niet. In de tekeningen wordt het geheel van uit een niet-draaiende referentiestelsel bekeken. Daarom is er ook een verschil tussen het beginpunt B en het verdraaide punt D. Ik werk in een niet-draaiend referentiestelsel omdat ik de Wetten van Kepler wil toepassen. (In een draaiend referentiestelsel zou je met schijnkrachten moeten werken.) Maar het is inderdaad allemaal bijzonder verwarrend omdat we het zo gewend zijn ons eigen draaiende aardse referentiestelsel als uitgangspunt te nemen. Zie ook bericht #117. Het is juist dat het mijn bedoeling is het hele verhaal voor het noordelijk halfrond uit te rekenen. Kloppen de tekeningen - de gegeven toelichting in aanmerking genomen - volgens jou dan nog steeds niet?

Volgens de Eerste Wet van Kepler bewegen de planeten in ellipsvormige banen om de zon waarbij de zon in alle gevallen in één van de brandpunten staat. Deze wet geldt echter ook voor objecten die om de aarde bewegen. Voorwaarde is wel dat de massa van het rond de aarde bewegende object ten opzichte van de massa van de aarde te verwaarlozen is, hetgeen voor een springend persoon zonder meer het geval is. En aangezien we de massa van de aarde voor onze geïdealiseerde berekeningen in het zwaartepunt van de aarde geconcentreerd mogen denken, beschrijft ook onze springende persoon dan een stukje van een ellipsvormige baan waarbij het zwaartepunt van de aarde in één van de brandpunten ligt.

Stel dat deze springende persoon (die we door het massapunt P voorstellen) bij zijn sprong de maximale hoogte h boven het aardoppervlak bereikt. De straal van de aarde noemen we R. Voor de poolstraal en poolhoek van P schrijven we respectievelijk r en θ. Stel verder dat de poolhoek θ van P vanaf het begin B van zijn sprong tot zijn hoogste punt H met de hoek α toeneemt. Dit vindt allemaal plaats in het vlak van de sprong. Zie de onderstaande "Situatieschets".
(Het ontaarde geval van een sprong met een hoogte van 0 m laten we buiten beschouwing, evenals reuzensprongen waarbij de springende persoon meer dan een paar minuten in de lucht blijft. We kunnen daardoor in onze afleidingen zonder problemen delen, worteltrekken en gebruikmaken van goniometrische en cyclometrische functies, omdat het in alle voorkomende gevallen duidelijk is dat deze bewerkingen voor de betreffende waarden zinvolle resultaten geven. Men gaat eenvoudig na dat er niet door nul gedeeld wordt, er geen wortel van een negatief getal getrokken wordt, etc.)

Er geldt voor de ellipsbaan:
,

waarin ε de excentriciteit genoemd wordt en l de semi-latus rectum. De waarde van ε ligt voor ellipsen altijd tussen 0 en 1.

De ellips is dus symmetrisch rond θ = 0. Bijgevolg geldt ook:
.

Zie zo nodig voor β de tussentijdse samenvatting (bericht #121).

We bepalen eerst de excentriciteit ε en de semi-latus rectum l van de ellipsbaan.

Voor de punten B en H geldt:
,
,
.
,
,
.

De boven gevonden formules leveren nu twee uitdrukkingen voor l. Namelijk:
&
.

Zodat:
,
,
,
,
,
,
.

Ook l kunnen we nu vinden:
,
,
,
.

Voor gegeven hoogte h en hoek α ligt de ellipsbaan van P derhalve door de daaruit af te leiden excentriciteit ε en de semi-latus rectum l geheel vast.

Vervolgens bepalen we de halve lange as a en de halve korte as b.

De halve lange as a vinden we aldus:
,
,
,
,
,
,
,
,
.

Voor de berekening van de halve korte as maken we gebruik van onderstaande schetsje:
Uit dit schetsje zien we dat:
,
.

Het zelfde schetsje leert ook dat:
,
.

Dus:
,
,
,
.

Wanneer we dit invullen in de eerder gevonden vergelijking voor b² vinden we:
,


,
.

Voor a - r(0) geldt:
,
,
,
,
.

Dit vullen we in in de uitdrukking voor b²:
,
,
,
,
,
,
.

Hiermee zijn de belangrijkste meetkundige eigenschappen van de ellipsbaan vastgelegd.

Voor het vervolg zullen we drie meetkundige hulpstellingen nodig hebben. Zij worden hieronder bewezen.

(De excentriciteit ε ligt uiteraard tussen 0 en 1. De hoogte h, de semi-latus rectum l, de halve lange as a en de halve korte as b zijn positief. Ook gaan we er opnieuw vanuit dat de hoek β = 2.α tussen 0 en π/2 rad ligt.)

LEMMA I De excentriciteit ε als functie van de halve korte as b en de hoogte h
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.

LEMMA II De hoek α als functie van de halve korte as b en de hoogte h
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.

LEMMA III De halve lange as a als functie van de halve korte as b en de hoogte h
,
,
,
,
,
,
,
,
.

Hier maken we gebruik van de Tweede en Derde Wet van Kepler. Tevens zullen we ons lemma III (zie het vorige bericht #130) inzetten. De baan van P bestaat uit het feitelijke stukje vanaf het beginpunt van de sprong B via het hoogste punt H tot aan het eindpunt van de sprong E, tezamen met het denkbeeldige stuk dat eveneens zou worden doorlopen als de totale massa van de aarde in het zwaartepunt zou zijn geconcentreerd en de ruimte onder het huidige aardoppervlak dus zonder problemen doorkruist kon worden.

De (uitgebreide) Derde Wet van Kepler toegepast op ons geval levert:
,
.

Hierin is T de (in ons geval denkbeeldige) omloopstijd van het massapunt P; is a de lengte van de halve lange as van de ellipsbaan; is γ de universele gravitatieconstante; en is M de massa van de aarde. (De massa van P is hierbij ten opzichte van de massa van de aarde M verwaarloosd.)

Volgens de Tweede Wet van Kepler (de Perkenwet) passeert de lijn die de zon (hier de aarde) met een planeet (hier de springende persoon P) verbindt in gelijke tijdsintervallen gelijke oppervlakten. Deze verbindende lijn wordt de voerstraal genoemd. En de vlakken waar de voerstraal over heen is getrokken noemt men ook wel perken.

Laat de voerstraal r van t₁ tot t₂ de perk A passeren, en van t₃ tot t₄ de perk B. De tijdsduren t₂ - t₁ en t₄ - t₃ zijn in dat geval precies dan gelijk wanneer de oppervlakten van de perken A en B gelijk zijn. Zie onderstaande tekening:
De Perkenwet impliceert dat de momentane toename van de door de voerstraal gepasseerde oppervlakte (oftewel de areal velocity) dA/dt gedurende het doorlopen van de gehele ellipsbaan gelijk blijft.

Omdat dA/dt gedurende de omloop constant is, moet voor de tot aan tijdstip t gepasseerde oppervlakte A(t) gelden dat:
,

waarin k een constante (gelijk aan dA/dt) is en A₀ de door de voerstraal op tijdstip t = 0 s gepasseerde oppervlakte. Laat nu ΔA de gedurende de tijdsduur Δt gepasseerde oppervlakte zijn. Dan vinden we:
,
,
,
,
,
.

De duur van een volledige rondgang is de omloopstijd T. En de gedurende T door de voerstraal gepasseerde oppervlakte is juist de totale door de ellips omsloten oppervlakte A = π.a.b . Dus vinden we hier:
,
,
,
,
,
.

Hierop passen we lemma III toe, zodat:
,
,
,
,
,
.

Aangezien zoals we zagen het differentie- en het differentiaalquotiënt hier gelijk zijn, vinden we ook:
.

Bartjes schreef:De Perkenwet impliceert dat de momentane toename van de door de voerstraal gepasseerde oppervlakte (oftewel de areal velocity) dA/dt gedurende het doorlopen van de gehele ellipsbaan gelijk blijft.

Omdat dA/dt gedurende de omloop constant is, moet voor de tot aan tijdstip t gepasseerde oppervlakte A(t) gelden dat:

\( A(t) = k . t + A_0 \)

,

waarin k een constante (gelijk aan dA/dt) is en A₀ de door de voerstraal op tijdstip t = 0 s gepasseerde oppervlakte.

Vanochtend werd ik wakker met de gedachte dat er iets met A₀ mis is. Immers "de door de voerstraal op tijdstip t = 0 s gepasseerde oppervlakte" is voor het ideale geval van een eeuwigdurende rondgang oneindig groot. In de elektrotechniek (mijn eigenlijke vakgebied) kan je zonder veel problemen spreken over de door een condensator op tijdstip t = 0 s totaal verzamelde lading. Hier ligt dat toch anders. Wellicht doen we er beter aan A(t) vanaf t = 0 s te meten, voor t < 0 s vinden we dan negatieve waarden voor A(t). A₀ is dan nul.

De grootte van de momentane toename van de gepasseerde oppervlakte dA/dt volgt uit de omtreksnelheid van de aarde bij het beginpunt B. Hoe dit precies in elkaar steekt bekijken we in dit bericht en het daarop volgende.
Neem aan dat B zoals gebruikelijk het beginpunt van de sprong is; H het hoogste punt van de sprong is; en E het eindpunt van de sprong is. Stel verder dat de sprong op het tijdstip t_B aanvangt. Dan neemt in het tijdsinterval van t_B tot t_B + Δt de poolhoek θ toe van θ(t_B) tot θ(t_B + Δt); neemt de lengte r van de voerstraal toe van r(θ(t_B)) tot r(θ(t_B + Δt)); en passeert de voerstraal van de springende persoon P (hier als massapunt gedacht) gedurende dat tijdsinterval precies de perk met oppervlakte ΔA .

Er geldt daarom:
,
,
.

Verder:
.

Zodat:
,
,
,
,
.

Bij het begin van de sprong geldt r(θ(t_B)) = R, dus:
.

In een systeem met poolcoördinaten kan een snelheidsvector altijd in twee specifieke snelheidscomponenten ontbonden worden (behalve in de oorsprong of pool O waar de voerstraal tot een punt is gedegenereerd en de richtingen van de twee componenten derhalve onbepaald zijn). De snelheid heet de transversale snelheid. Loodrecht daarop staat de zogeheten radiale snelheid , die in het verlengde van de voerstraal ligt. De transversale snelheidscomponent wordt positief gerekend in de richting van een toenemende poolhoek θ. De radiale snelheidscomponent wordt positief gerekend in de richting van een toenemende poolstraal. Zie het onderstaande plaatje:
Het verband tussen de snelheid en haar transversale en radiale componenten en wordt hieronder met behulp van de vier eenheidsvectoren , , en afgeleid:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.

Voor de radiale snelheidscomponent en de transversale snelheidscomponent geldt dus:
,

met:
,
.

We vonden al dat:
.

Uit de combinatie van deze resultaten zien we dat aan het begin van de sprong geldt:
.

(Het is mij bekend dat formules als bovenstaande door natuurkundigen en technici met schetsjes van "infinitesimale" hoekverdraaiingen, aangroeiingen, toenamen e.d. in een handomdraai kunnen worden gevonden. Maar in het kader van dit mega-project leek het mij wel zo aardig wat dieper te graven. ](*,) )

Op het moment waarop P zijn sprong begint heeft de aardkorst op de plaats vanwaar P omhoog springt ten opzichte van ons niet-roterende referentiestelsel waarin wij onze berekeningen uitvoeren een zekere vectoriële (omtreks)snelheid . Zie onderstaand plaatje:
Voor de grootte van vinden we eenvoudig dat:
.

Omdat de aardkorst zich in het boloppervlak beweegt raakt de vectoriële omtreksnelheid aan dit boloppervlak. Bovendien is het duidelijk dat de draairichting van de aarde volgt. Hiermee ligt naar grootte en richting vast. We beschouwen dan ook verder als een naar grootte en richting onveranderlijke vector.

Laat een referentiestelsel zijn dat zich eenparig rechtlijnig met de snelheid ten opzichte van ons niet-roterende referentiestelsel voortbeweegt. In dit referentiestelsel bevindt de aardkorst zich op het moment dat P met zijn sprong begint en op de plaats waar dat gebeurt momentaan in rust. De enige snelheid die daar op het moment door de aardbewoners en door de in levende waarnemers wordt gemeten is de snelheid waarmee P loodrecht ten opzichte van de ter plaatse als stilstaand beleefde aardkorst omhoog springt. Omdat het referentiestelsel ten opzichte van ons niet-roterende referentiestelsel eenparig rechtlijnig beweegt, vinden we de aanvangs- of startsnelheid die P binnen ons niet-roterende referentiestelsel heeft eenvoudig door de in gemeten loodrechte springsnelheid bij de snelheid van zelf op te tellen.

Dit levert het volgende plaatje:
De snelheidsvector bevindt zich in het verlengde van de voerstraal van B en wijst in de richting van een toenemende lengte van de voerstraal. De snelheidsvector raakt aan het oppervlak van de bol en staat dus loodrecht op de richting van de voerstraal van B en daarmee op zelf. Bovendien wijst in de richting van een toenemende poolhoek θ (vergelijk hiertoe de bovenstaande tekeningen met die in de berichten #121 en #129). De snelheden en zijn derhalve de gezochte radiale en transversale snelheden en van P in het beginpunt B van ons niet-roterende referentiestelsel.

Meer bepaald geldt dan:
,
,
.

In het vorige bericht #133 vonden we:
.

Dat kunnen we nu verder uitwerken:
,


.

En dus ook:
.

ik kan niet volgen maar is het juist als ik zeg dat de afstand die de aarde onder je door draait als je springt te wijten is door de verminderde zwaartekracht op die kleine hoogte en de vergroting van je afstand tot het middelpunt waardoor Fz je baan minder snel afbuigt?

De voorgaande posts in beschouwing nemend, lijkt me dat een heel onvolledige uitspraak...