HansH schreef: ↑zo 20 okt 2019, 16:23
flappelap schreef: ↑zo 20 okt 2019, 13:27
Snap je het wel voor b.v. Galileiboosts,
x'=x+v*t
?
Die naam zegt mij niets. na even googelen lijkt dat betrekking te hebben op 2 referntie assenstelsels die met constante snelheid tov elkaar bewegen.
als x dan de positie is van waarnemer A dan is x+v*t de positie van waarnemer B.
dus dat klinkt allemaal logisch als je mag aannemen dat je posities tov elkaar veroorzaakt door snelheden volgens de traditionele manier bij elkaar op mag tellen, zoals je bv mag doen bij een rijdende trein waar je de invloed van de lichtsnelheid mag verwaarlozen door die oneindig te stellen? Maar daar gaat het natuurlijk hier net om dat dat juist niet mag. vandaar dus mijn vraag wat er nu precies geldt als uitgangspunten in dat x, ct diagram.?
Ik vraag je dit, omdat de Galilei-boost een vereenvoudigde vorm is van de Lorentz-boost. Je kunt wiskundig aantonen dat als v<<c, de Lorentzboost nagenoeg gelijk wordt aan de Galilei-boost.
Stel, je neemt coordinaten {ct,x}. We kunnen hier een waarnemer A aan plakken. Deze waarnemer zit in de ruimtelijke oorsprong {ct,x=0}. Zijn wereldlijn is dus de ct-as in het ruimtetijd-diagram {ct,x}.
Neem nu een andere waarnemer B die met snelheid v ten opzichte van A beweegt. Waarnemer B gebruikt coordinaten {ct', x'}. Waarnemer B zit per definitie in de ruimtelijke oorsprong {ct,x'=0}. De wereldlijn van waarnemer B is dus de ct'-as. We nemen ook aan dat op t=t'=0 de twee waarnemers bij elkaar zitten.
Wat betekent het dat waarnemer B met snelheid v t.o.v. A beweegt? Wel, dat betekent dat de wereldlijn van B een helling maakt in het {ct,x}-diagram, zodanig dat de snelheid v is. In dit geval betekent het dat de richtingscoefficient van de ct'-lijn in het {ct,x}-diagram 1/v is. 1/v, want we zetten de ct-as verticaal en de x-as horizontaal.
Nu weten we dus hoe de ct'-as in het {ct,x}-diagram moet worden getekend. Maar hoe zit het met de x'-as? Wel, per definitie zullen zowel A als B dezelfde lichtsnelheid c meten (daarom schreef ik ook ct'-as en niet c't'-as!). Je kunt dan aantonen dat de hoek tussen de ct- en ct'-as hetzelfde moet zijn als de hoek tussen de x- en x'-as. Oftewel: de ct'-as en x'-as 'scharen naar elkaar toe', zodat een lichtstraal in beide assen dezelfde helling behoudt en dus dezelfde lichtsnelheid heeft:
De relatie tussen de numerieke waarden van de coordinaten {ct,x} en {ct',x' } wordt gegeven door de Lorentztransformaties. Waarnemer A zal voor een gebeurtenis coordinaten {ct,x} gebruiken, en B zal voor diezelfde gebeurtenis coordinaten {ct',x' } gebruiken; de relatie tussen die 2 wordt gegeven door de Lorentztransformaties.
Het cruciale verschil tussen een Lorentz- en Galilei-boost is dat een Galilei-boost aanneemt dat t' = t. De transformate behelst dus alleen een transformatie tussen x en x'. Bij een Lorentz-boost hangen zowel t' als x' af van x en t! Oftewel:
Galilei:
t=t'
x'=x'(t,x)
terwijl
Lorentz:
t'=t'(t,x)
x'=x'(t,x)
Veel democratischer
)