sciencetalk

Ug=-mgr∙(1-φ^2/2) heb ik want je moet tweede orde taylor doen

Potentiele “veerenergie”

De potentiele energie van een veer: Uveer=½ k x2

Om alles een beetje eenvoudiger te maken gebruik ik de kleine hoebenadering:

Lengte veer in rusttoestand: l0

Verplaatsing van veer 1: s1= r-bα

Verplaatsing van veer 2: s2= r+bα

x1= r-bα-l0

x2= r+bα-l0

Uveer= ½ k [(r-bα-l0)2+(r+bα-l0)2]

Potentiele energie ten gevolge van zwaartekracht op de stok:

Ug=-mgh

Zwaartekracht grijpt aan in massamiddelpunt

Waarbij h= ycm= r∙cosφ

Dus Ug=-mgr∙cosφ

Hierbij gebruiken we de kleine hoekbenadering(cosφ≈1-φ2/2):

Dus Ug=-mgr∙(1-φ2/2)

Totale potentiele energie:

U=½ k [(r-bα-l0)2+(r+bα-l0)2]- mgr∙(1-φ2/2)

Omdat φ een kleine hoek is, is ook r klein. Die benader ik bij: r=r0+ε, waarbij ε heel klein is:

U=½ k [([r0+ε]-bα-l0)2+([r0+ε]+bα-l0)2]+ mg[r0+ε]∙(1-φ2/2)

U=½ k [([r0+ε]-bα-l0)2+([r0+ε]+bα-l0)2]+ mg[r0+ε]∙(1-φ2/2)

U=2k(r0-l0)ε+kbα2+k(r0-l0)2+ ½mgr0φ2-mgr0-mgε+kε2

ik weet niet of het klopt, want bij mij komen de normal freq enzo niet uit

Dat ziet er goed uit, ik had het ook net uitgerekend (zonder de kleine hoekbenadering in het begin te gebruiken).

opmerking: latexformules kan je ingeven door [ tex]*plaats hier je formule*[ /tex] te typen, maar dan zonder spaties tussen de haakjes.

opmerking 2: Dit leidt wel degelijk tot de juist frequenties. Dit volgt zelfs onmiddellijk, alles is gewoon diagonaal.

Ik krijg dit:

L=T-U= 1/6∙(dα/dt)2∙m∙b^2 + ½ m [(dr/dt)^2 + r^2 ∙(dφ/dt)^2]

-kbα^2-k(r0-l0)^2- ½mgr0φ^2-kε^2

We krijgen dan 3 lagrange vergelijkingen(voor alpha, phi en r):

Dit doe ik m.b.v. d/dt(dL/d(dq/dt))=dL/dq waarbij ik voor q de drie variabelen invul waardoor ik drie bewegingsvergelijkingen krijg:

m(d^2r/dt^2)=mr∙(dφ/dt)2 (bij variabele r)

mr^2(d^2φ/dt^2)=mgr0φ (bij variabele φ)

1/3 mb^2(d^2α/dt^2)=2kbα (bij variabele alpha)

Maar het komt voor mij echt niet uit, help!

Ik kan helaas heel slecht met letex werken

en dan:

Om de normal frequenties te krijgen los ik op:

Det(A+ω^2I)=0 waarbij omega de eigenfrequenties zijn(ik kies omega groter gelijk aan 0)

Om de normal model te vinden los ik op:

(A+ ω^2I)a=0 waarbij a de eigenvectoren zijn

Wij hebben een vergelijking van de vorm(het zijn vectoren):

A∙x=I∙(d^2x/dt^2) waarbij I de eenheidsmatrix is.

Zo vinden we matrix A en vinden we met behulp van Det(A+ω^2I)=0:

Schrijf r eens als , zoals je het nu doet lijkt het alsof de -term niet uitmaakt. En dan gewoon geen rekenfouten maken .

ik zit vooral nog met een (dφ/dt)^2 in de bewegingsvergelijking m(d^2r/dt^2)=mr∙(dφ/dt)^2

los ik het wel met de goede formule op naar de normal frequencies?

Zoals gezegd, bekijk je Lagrangevergelijkingen nog eens, en verwerp hogere orde termen...

wat wordt precies bedoeld met verwerpen hogere orde termen?

Dat je enkel termen tot de gewenste orde bewaart, en hogere orden verwaarloost.

Een heel simpel voorbeeld: Als je e^x tot op 2e orde wilt benaderen, gebruik je de benadering