kotje schreef:@Bartjes
In jouw link wordt er in het begin gepostuleerd dat iedere functie affien is d.w.z. dat ze bestaat uit kleine stukjes rechte volgens de raaklijn, die alleen getransleerd en geroteerd kunnen worden (ik denk dat ik dit goed begrepen heb). Daar heb ik wel moeilijkheden mee. Voor mij is een functie een verzameling punten.
Je kan infinitesimalen op een wiskundig deugdelijke manier definiëren, maar dat gaat niet binnen het gebruikelijke systeem van de reële getallen. Voor de gewone reële getallen geldt het zogeheten axioma van Archimedes:
http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_Archimedes
Alle "reële" systemen die infinitesimalen bevatten wijken dus op de een of andere manier af van de gebruikelijke reële getallen. Dat moet zo zijn omdat de gebruikelijke reële getallen op grond van het axioma van Archimedes geen infinitesimalen (behalve 0) bevatten. De systemen met infinitesimalen hebben dan ook noodzakelijkerwijs allemaal in het een of andere opzicht wel iets excentrieks. Zolang de zaak logisch maar goed in elkaar steekt, geeft dat niets.
De uitleg die je m.b.t. (dx)
2 hebt gekregen, komt volgens mij hier op neer:
Laat e een zeer klein getal ongelijk aan 0 zijn. En laat y = f(x) een functie van x zijn. De e-differentiaal d
ey van y is dan een functie van x en van e, met het functievoorschrift:
d
ey = f(x+e) - f(x).
Voor d
ey/d
ex vinden we dan:
d
ey/d
ex = (f(x+e) - f(x))/((x+e) - x)
d
ey/d
ex = (f(x+e) - f(x))/e
Voor e nadert tot 0 krijgen we het gewone differentiaalquotiënt (als dat bestaat).
Stel nu eens dat je voor een zekere y = f(x) hebt dat:
d
ey = g(x).e + h(x,e)
\(\lim_{e \rightarrow 0} \frac{h(x,e)}{e} = 0\)
Dan geldt:
\(\frac {dy}{dx} = \lim_{e \rightarrow 0} \frac {d_e y}{d_e x} = \lim_{e \rightarrow 0} \frac {g(x).e + h(x,e)}{e} = \lim_{e \rightarrow 0}(g(x) + \frac {h(x,e)}{e}) = g(x)\)
Hadden we de term h(x,e) in d
ey al eerder verwaarloosd en pas daarna de limiet van d
ey/d
ex voor e nadert tot 0 genomen, dan hadden we natuurlijk ook de uitkomst g(x) gekregen. Dus als je sowieso van plan bent d
ey door d
ex te delen en er de limiet voor e nadert tot 0 van te nemen, kan je je de fout van het verwaarlozen van h(x,e) permitteren omdat deze door de daaropvolgende bewerkingen weer teniet wordt gedaan. Strikt logisch gesproken deugt dat natuurlijk niet. De juistheid van een afleiding hoort op elk punt onderweg te berusten op de
voorafgaande bewerkingen en stellingen, en niet op de
erop volgende. Hier zie je dus weer het verschil tussen de zuivere wiskunde en de natuurkunde en techniek.
