Teken een ellipsoïde, waarvan de doorsnijding met het xy-vlak een ellips is met vergelijking
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
en een bol met middelpunt (-a,0,0).
Bol en ellipsoide snijden elkaar onder een hoek
\(\phi\)
, d.w.z. de lijn
\(y=\tan(\phi)(x+a)\)
in het xy-vlak snijdt zowel bol als ellipsoïde.
De zwaartekracht uitgeoefend door het deel ingesloten tussen de bol en de ellipsoide
op een voorwerp in (-a,0,0) en behorend bij hoek
\(\phi\)
is per definitie
\(Z(\phi)\)
.
De lijn
\(y=\tan(\phi)(x+a)\)
snijdt de ellips(oide) in 2 punten, (-a,0,0) en
\((x,y,0)\)
met
\(x = \frac{ab^2-a^3\tan^2(\phi)}{b^2+a^2\tan^2(\phi)}\)
\(y = \frac{2ab^2\tan(\phi)}{b^2+a^2\tan^2(\phi)}\)
Het deel van de bol dat door de ellipsoide wordt afgesneden heeft dan een oppervlakte
\(2\pi (x^2+r^2)(1-\cos(\phi))\)
Dan is
\(Z'(\phi) = \lim_{h \to 0}\frac{Z(\phi+h) - Z(\phi)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{V(\phi+h) - V(\phi)}{h(x^2+y^2)}\)
waarbij
\(V(\phi)\)
het inhoud is van het deel ingesloten tussen bol en ellipsoide.
Dan is
\(Z'(\phi) = \lim_{h \to 0}\frac{Z(\phi+h) - Z(\phi)}{h} = \frac{2\pi a^2}{(b^2+a^2\tan^2(\phi))^3}\frac{T}{x^2+y^2}\)
met
\(T = \frac{-\sin(\phi)}{\cos^6(\phi)}((5b^4a^2-3b^6-a^6-b^2a^4)\cos^6(f)+(10b^2a^4-4b^6+3a^6-9b^4a^2)\cos^4(f)+\)
\((-8b^2a^4+8b^6)\cos^3(f)+(-3a^6-9b^2a^4+12b^4a^2)\cos^2(f)+(8b^2a^4-8b^4a^2)\cos(f)+a^6)\)
Dus de door de ellipsoide uitgeoefende zwaartekracht is
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2\pi a^2}{(b^2+a^2\tan^2(\phi))^3}\frac{sin(\phi)}{\cos^6(\phi)}\)
\(((5b^4a^2-3b^6-a^6-b^2a^4)\cos^6(f)+(10b^2a^4-4b^6+3a^6-9b^4a^2)\cos^4(f)+(-8b^2a^4+8b^6)\cos^3(f)+\)
\((-3a^6-9b^2a^4+12b^4a^2)\cos^2(f)+(8b^2a^4-8b^4a^2)\cos(f)+a^6)\frac{(b^2+a^2\tan^2(\phi))^2}{a^2(a^4\tan^4(\phi)+2b^2\tan^2(\phi)(b^2-a^2)+b^4})\ d\phi\)
De rest wordt aan de lezer overgelaten, of aan een of ander rekenprogramma.
) eens aan zitten.