sciencetalk

Ik kan nu wel bewijzen dat [0,1] en R equipotent zijn, maar er zou toch ook een bijectie moeten tussen bestaan. Zoja hoe zou ik die dan kunnen vinden?

Kan je een bijectie geven tussen (0, 1) en R? Denk aan die tan(x).

Kan je ook een bijectie geven tussen [0, 1] en (0, 1)?

Stel deze nu samen.

Een bijectie tussen (0,1) en R is dan f(x)=tan(pi*x+pi/2). Maar ik kan maar geen bijectie vinden tussen [0,1] en (0,1).

Het idee is het volgende: beeld 0 af op 1/2, 1 op 1/3, en nu 1/n op 1/(n+2). Zo heb je {0, 1} U {1/n | n in N} in bijectie gebracht met {1/(n + 1) | n in N}. Enig idee wat je nu moet doen met de rest van het interval [0, 1]?

Ik zou zeggen dan verbind je gewoon die punten met een rechte, maar dan zitten toch nog niet alle punten in uw beeld dus heb je toch nog altijd geen bijectie

Ik snap niet goed wat je bedoelt. Bedoel je: voor de andere punten beeld ik ze af op zichzelf?

Dat bedoel ik inderdaad, klopt dit dan?

Dat klopt ja. De afbeelding die een bijectie geeft tussen [0, 1] en (0, 1) is dus

Nu kun je dus die twee bijecties gaan samenstellen om eentje te bekomen tussen [0, 1] en R.