sciencetalk

Ik ben nu al een tijdje hiermee aan het puzzelen en ik kom er niet uit. Ik ga nu mijn hersenspinsels delen zodat iemand anders er misschien iets zinnigs over kan zeggen. Vooraf meld ik alvast dat ik niet op het advies voor machinisten uitkom.

De treinreis splits ik in drie gedeelten op: (1) eenparig versnellen tot de gewenste snelheid is bereikt, (2) deze snelheid constant aanhouden en (3) het uitrollen. Als eerste ga ik het uitrollen bekijken. Ik ga uit van een wrijvingskracht die evenredig is met het kwadraat van de snelheid, ofwel:

\(F_w = -K \cdot v^2\)

Tijdens het uitrollen is dit de enige kracht op de trein:

\(F = m \frac{dv}{dt} = -K \cdot v^2\)

Dit is een differentiaalvergelijking:

\(\frac{dv}{dt} = -\frac{K}{m} \cdot v^2 = -K' \cdot v^2\)

\(\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} = -K'\)

\(-\frac{1}{v} = -K' \cdot t - C\)

\(v = \frac{1}{K' \cdot t + C}\)

Met de beginsnelheid kunnen we nu C bepalen:

\(v_0 = \frac{1}{C}\)

\(C = \frac{1}{v_0}\)

dus:

\(v(t) = \frac{1}{K' \cdot t + \frac{1}{v_0}} = \frac{v_0}{1 + K' \cdot v_0 \cdot t}\)

Dit is dus de snelheid afhankelijk van de tijd tijdens het uitrollen. Hiermee is de afgelegde afstand te bepalen:

\(x(t) = \int_0^t v(\tau) d \tau = \int_0^t \frac{v_0}{1 + K' \cdot v_0 \cdot \tau} d \tau = \frac{1}{K'} \cdot \ln(1 + K' \cdot v_0 \cdot t)\)

Laten we even veronderstellen dat snel accelereren goed is en dat onze trein dit instantaan kan. Deel 1 van de reis kunnen we dan dus negeren. De trein rijdt dus met constante snelheid, rolt dan uit en uiteindelijk wordt er nog geremd.De afstand

\(\Delta x\)

die de trein moet rijden is constant (het gaat erom om die zo efficient mogelijk af te leggen) en de tijd

\(\Delta t\)

die hierover gedaan moet worden ook. Er moet dus gelden:

\(\Delta x = v_0 \cdot t_2 + \frac{1}{K'} \cdot \ln(1 + K' \cdot v_0 \cdot t_3)\)

\(\Delta t = t_2 + t_3\)

ofwel:

\(\Delta x = v_0 \cdot (\Delta t - t_3) + \frac{1}{K'} \cdot \ln(1 + K' \cdot v_0 \cdot t_3)\)

Bij deze formule lukt het me niet om

\(v_0\)

en

\(t_3\)

te scheiden. Ik kan echter wel numeriek bij een bepaalde snelheid vinden hoe lang ik dan uit kan rollen.

Hoeveel energie kost een reis? Alle energie die de motor levert gaat uiteindelijk verloren. De hoeveelheid energie die de motor moet leveren is de energie om de snelheid

\(v_0\)

te halen plus alle verloren energie door wrijving.

\(E_k = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2\)

\(E_w = \int F_w dx = \int K \cdot v^2 dx = \int K \cdot v^2 \frac{dx}{dt} dt = \int K \cdot v^3 dt\)

Gedurende deel 2 van de reis geldt:

\(v = v_0\)

dus:

\(E_w = \int_{0}^{t_2} K \cdot v_0^3 dt = K \cdot v_0^3 \cdot t_2 = K \cdot v_0^3 \cdot (\Delta t - t_3)\)

Gedurende deel 3 wordt geen energie meer toegevoerd, dus voor de totale energie vind ik dus:

\(E = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2 + K \cdot v_0^3 \cdot (\Delta t - t_3)\)

Ik zie dat ik hierin een slordigheidje heb zitten:

\(t_3\)

is de duur van het uitrollen. Het is dus geen tijdstip. Omdat ik geen zin heb om dit aan te passen, hoop ik dat dit opmerken voldoende is voor iedereen.

En dan nu het 'probleem': Stel dat je instantaan remt. Dat wil dus zeggen dat gedurende totale reis de snelheid de gemiddelde snelheid is. Als ik

\(\Delta t = 5\)

,

\(\Delta x = 10\)

, v0=2, K=1 en m=1 kies, vind ik E = 42 (en ja, ik heb geen zin in eenheden

). Als ik een andere top-snelheid kies dan vind ik altijd een energie die hoger is (v0 = 4 -> t3 = 2.3632 -> E = 134.2). Dit is dus tegen het advies om zo lang mogelijk uit te rollen.

Ziet iemand hierin iets wat ik verkeerd doe?

Niemand? Jammer...

Ik ben er nog over aan het piekeren, maar misschien is het handig om de overwegingen even neer te pennen. Maar, het zijn nog slechts losse flodders.

Wat zou kunnen is dat je conclusie geldig is voor de combinatie van eenheden die je hebt gebruikt, maar dat de verhouding van de eenheden zelf geen realistische afspiegeling is van de krachten, massa's en snelheden van de trein, of de afstand die model staat in de berekening.

Wat gebeurt er als je andere waarden gebruikt voor Δx, K en m?

Heb er eens naar gekeken, maar zou zo niet kunnen zeggen wat er verkeerd is aan jouw redenering. Mogelijk zouden we nu over moeten gaan naar een bestaand traject en bovenstaande redenering herhalen.

Naar mijn gevoel zit de belangrijkste fout in de constraints. Je berekent nu de minimale energie voor een constante tijd en afstand. In werkelijkheid is de totale tijd geen constraint, maar in de praktijk wel de maximale snelheid, en de maximale acceleratie en remming - alle drie door jou onbegrensd geacht.

Met de werkelijke beperkingen die door de fysica (en de wet

aan het treinverkeer worden opgelegd is het geen kwestie meer van energie-optimalisatie, maar een afweging van energie versus reistijd.

In details zitten er natuurlijk nog andere aannamen in, zoals het kwadratisch gedrag van turbulente stroming (bij lagere snelheden zal het gedrag denk ik gedeeltelijk laminair worden), en de gedachte dat er nu helemaal niet regeneratief wordt geremd.

Wat gebeurt er als je andere waarden gebruikt voor Δx, K en m?

HIerin zit iets interessants. Na eerst wat waarden te hebben aangepast leek er niks te veranderen. Op een gegeven moment zag ik plotseling een knikje. Na wat meer experimenteren bleek dat dit knikje er eerder ook al zat (maar die had ik door mijn gekozen resolutie gemist). Ik heb een idee over hoe ik dit beter kan bekijken wat ik later ga proberen.

In werkelijkheid is de totale tijd geen constraint,

De totale tijd is wel degelijk een constraint. Die heet "de dienstregeling".

maar in de praktijk wel de maximale snelheid, en de maximale acceleratie en remming - alle drie door jou onbegrensd geacht.

De maximale snelheid is geen enkel probleem voor mijn model (en bovendien niet relevant in het geval dat de conclusie is dat de maximale snelheid zo laag mogelijk gehouden moet worden). De acceleratie en remming heb ik inderdaad eerst weggelaten. Deze weglating zorgt ervoor dat de gevonden ideale snelheid lager zal zijn dan met dit erbij. Dat is wederom dus geen probleem in het geval dat de maximale snelheid zo laag mogelijk gehouden moet worden.

Met de werkelijke beperkingen die door de fysica (en de wet aan het treinverkeer worden opgelegd is het geen kwestie meer van energie-optimalisatie, maar een afweging van energie versus reistijd.

Dit hele scenario is een kwestie van energie-optimalisatie. Dat is het hele punt (zuinig rijden): de afstand tussen twee stations in een gegeven reistijd zo zuinig mogelijk afleggen.

In details zitten er natuurlijk nog andere aannamen in, zoals het kwadratisch gedrag van turbulente stroming (bij lagere snelheden zal het gedrag denk ik gedeeltelijk laminair worden), en de gedachte dat er nu helemaal niet regeneratief wordt geremd.

Klopt, dit is maar een model. Dit model kunnen we later nog wel verfraaien, maar vooralsnog lijkt het mij beter om eerst een simpele variant te doen.

Ik denk toch dat de dienstregeling eerder een gevolg is van de energieafweging dan het startpunt! Wat je met deze omkering probeert te doen (en dat is ook een aanname, misschien prima valide) is om een probleem van lineaire programmering (optimalisatie van een cost functie in een gebied dat wordt begrensd door eenvoudige ongelijkheden) om te zetten in een minimalisatie van een eenvoudige parametrische vergelijking. Echter denk ik dat de cost functie duidelijk complexer is dan nu uit je model komt, want daarin zijn de twee constraints (reistijd en energie) bijna helemaal tegenstrijdig, en is er dus geen "stabiele" afweging van de twee mogelijk maar alleen een keuze welke belangrijker is. Jij kiest nu de dienstregeling als belangrijkst, en dan komt er de vlakste snelheid uit je model. Als je werkelijk de energie zou minimaliseren dan zou er de snelheid nul en een oneindige dienstregeling uitkomen.....

Reistijd en energieverbruik zijn uiteraard tegenstrijdige wensen, en economisch zit er nog wel een stukje meer achter.

Als je langzamer gaat rijden (dwz langer doet over een traject) heb je ook meer materieel (en personeel!) nodig om dezelfde hoeveelheid passagiers te vervoeren. Dat brengt uiteraard kosten met zich mee, die op een gegeven moment hoger worden dan de energiebesparing door langzamer te gaan rijden.

Daarnaast heb je natuurlijk ook nog zoiets als de klant: als je trein er 6 uur over doet om van maastricht naar amsterdam te komen nemen die allemaal de auto of de bus, waarmee de hele operatie zinloos wordt.

@rwwh+Benm: jullie geven zelf al aan dat er een maximaal toelaatbare reistijd is (Anders nemen klanten de auto). Dit is dus een constraint (niet een gevolg) op het scenario.

Ik probeer de vraag te beantwoorden hoe je een gegeven afstand binnen een gegeven tijd zo energiegunstig mogelijk kunt afleggen. Dit is volgens mij ook de vraag die de NS zich stelt. Het kan best zijn dat de NS zich volgens jullie een andere vraag stelt. Ik wil later dan best nog eens kijken of we die vraag dan helder kunnen krijgen. Eerst ben ik echter geinteresseerd in de vraag zoals ik hem interpreteer.

@Iedereen: Ik heb het volgende bedacht. Als je een afstand

\(\Delta x\)

af wilt leggen in een tijd

\(\Delta t\)

dan moet je gemiddelde snelheid

\(v_g\)

(minimaal)

\(\frac{\Delta x}{\Delta t}\)

zijn. Als je instantaan versnelt tot deze snelheid en instantaan remt dan heb je deze snelheid de hele reis. Het is nu mogelijk om de energie die deze reis kost uit te rekenen met de eerdere formule:

\(E = \frac{1}{2} m v_g^2 + K v_g^3 \Delta t\)

Nu stellen we ons de vraag: Gegeven een hoeveelheid energie E, hoe ver kunnen we dan komen?

\(E = \frac{1}{2} m v_0^2 + K v_0^3 (\Delta t - t_3)\)

\(E = \frac{1}{2} m v_0^2 + K v_0^3 \Delta t - K v_0^3 t_3\)

\(K v_0^3 t_3 = \frac{1}{2} m v_0^2 + K v_0^3 \Delta t - E\)

\(t_3 = \frac{\frac{1}{2} m v_0^2 + K v_0^3 \Delta t - E}{K v_0^3}\)

Hieruit volgt dat de minimale maximumsnelheid

\(v_0\)

gelijk is aan

\(v_g\)

(anders wordt de uitroltijd negatief). De maximale (zinnige) maximumsnelheid is als je het hele traject uitrolt:

\(E = \frac{1}{2} m v_0^2\)

\(\frac{2 E}{m} = v_0^2\)

\(v_0 = \sqrt{\frac{2 E}{m}}\)

De tijd kunnen we invullen in de afstandsformule:

\(\delta x = v_0 \cdot (\Delta t - t_3) + \frac{1}{K'} \cdot \ln(1 + K' \cdot v_0 \cdot t_3)\)

\(\delta x = \frac{E}{K v_0^2} - \frac{m}{2 K} + \frac{m}{K} \ln(\frac{3}{2} + \frac{K v_0 \Delta t}{m} - \frac{E}{m v_0^2})\)

Dit is de afstand die je in

\(\Delta t\)

kunt afleggen als je precies E energie gebruikt afhankelijk van de maximumsnelheid

\(v_0\)

(waarbij deze snelheid tussen de eerder bepaalde grenzen moet zitten).

Als voor een bepaalde maximumsnelheid de gevonden afstand kleiner is dan de gewenste afstand

\(\Delta x\)

dan is het niet mogelijk om met die snelheid de afstand binnen de gewenste tijd af te leggen. Als voor een bepaalde maximumsnelheid de gevonden afstand groter is dan de gewenste afstand dan is het mogelijk om de gewenste afstand af te leggen met minder energie dan nu gebruikt wordt. Met maxima heb ik nu dit verband geplot:

: snelheid 734 keer bekeken

Zoals je kan zien wordt de behaalde afstand eerst een klein beetje groter voordat ie kleiner wordt. Het is, met deze waarden, dus gunstig om net iets harder te rijden dan het gewenste gemiddelde.

Ik heb verder nog wat gespeeld en het lijkt er op dat hoe groter de massa hoe gunstiger het is om iets harder te rijden. Ik zal eens kijken of ik hier nog meer inzicht in kan krijgen.

Heeft er iemand enig idee wat de massa van een trein is en wat ik voor K zou kunnen nemen?

Maxima code:

Code: Selecteer alles


m:1;

k:1;

dt:5;

dx:10;

vmin:dx/dt;

E:(m/2)*vmin^2 + k*dt*vmin^3;

vmax:sqrt(2*E/m);

wxplot2d([E/(k*v^2)-m/(2*k)+(m/k)*log((3/2)+k*v*dt/m - E/(m*v^2))], [v,vmin,vmax]);

wxplot2d([E/(k*v^2)-m/(2*k)+(m/k)*log((3/2)+k*v*dt/m - E/(m*v^2))], [v,2,2.1]);

Een zesdelige intercity voor 600 man is 350 ton zwaar. Voor de luchtweerstand van treinen en veel andere realistische getallen kun je op dit forum zoeken naar een topic uit 2010, daarin staat een referentie naar een rapport van het RIVM met grafieken van energieverbruik als functie van de snelheid: http://www.rivm.nl/bibliotheek/rapporten/888883002.pdf

Ik heb geen verstand van wiskunde maar het lijkt mij logisch dat je bij versnelling twee verschillende types kunt onderscheiden rechtevenredige waarbij de waarde van versnelling geleidelijk aan toeneemt en oplopende versnelling waarbij de waarden elke keer oplopend toenemen geeft deze laatste optie een hoger rendement natuurlijk.

@J.Goossens: De Energie die nodig is voor een versnelling is onafhankelijk van de manier waarop je dat doet. Die is altijd alleen maar afhankelijk van de snelheid en van de massa. Dus: nee het maakt niet uit of je rustig begint of meteen hard uit de startblokken gaat. Wat wel uitmaakt is de luchtweerstand, maar die hebben we in rekening gebracht

Dan is het aannemelijk dat het voordeel hem zit in de grote van de massa , massa is eerder een pre dan de het nadeel van de luchtweerstand zowel bij het optrekken als wel bij het uitrijden. wordt massa een voordeel maar blijft luchtweerstand een nadeel.

Een grotere massa heeft meer energie nodig bij het versnellen, en levert meer remenergie op. Ik zie daar geen pre in. Al deze aspecten zijn meegenomen in de wiskunde, dus daar zit hem de kneep niet.

Nou ik dacht meer aan de werking en de voordelen die een vliegwiel opleveren.

Waar die massa juist een groter voordeel oplevert. ook bij het afremmen kan die energie weer opgeslagen of teruggeleverd worden. maar toch denk ik dat een constant grotere en toenemende versnelling het meeste voordeel oplevert. Omdat een totaal stilstaande massa meer energie kost als een die al in beweging is.

sciencetalk

Het nieuwe treinrijden (zuinig rijden NS)

Re: Het nieuwe treinrijden (zuinig rijden NS)

Re: Het nieuwe treinrijden (zuinig rijden NS)

Re: Het nieuwe treinrijden (zuinig rijden NS)

Re: Het nieuwe treinrijden (zuinig rijden NS)

Re: Het nieuwe treinrijden (zuinig rijden NS)

Re: Het nieuwe treinrijden (zuinig rijden NS)

Re: Het nieuwe treinrijden (zuinig rijden NS)

Re: Het nieuwe treinrijden (zuinig rijden NS)

Re: Het nieuwe treinrijden (zuinig rijden NS)

Re: Het nieuwe treinrijden (zuinig rijden NS)

Re: Het nieuwe treinrijden (zuinig rijden NS)

Re: Het nieuwe treinrijden (zuinig rijden NS)

Re: Het nieuwe treinrijden (zuinig rijden NS)

Re: Het nieuwe treinrijden (zuinig rijden NS)

Re: Het nieuwe treinrijden (zuinig rijden NS)