Volgens mij kan het zo berekend worden:
Stap 1: Dwarskracht in de plaat berekenen
r*Q®-a*Q(a)=
\(\int _a ^r qrdr\)
Hierin is Q de dwarskracht, q de belasting, r de afstand tot het midden van de schijf en a<r een willekeurige cirkel waar je Q kent. In dit geval is a=0 en q=1 MPa = 10 bar en Q(0)=oneindig (singulariteit, dit komt door de puntkracht). a*Q(0) is 0*oneindig en dit is onbepaald. Als we Q schrijven als Q=-P/(2*Pi*a) en de limiet nemen voor a-->0 dan is a*Q(0)=7088/(2*Pi).
Hiermee vinden we:
\(Q®=-\frac{r}{2}+\frac{1128.09}{r}\)
. Ter controle: de dwarskracht op de rand moet 0 zijn. Q(47,5) blijkt inderdaad nul te zijn.
Stap2: Doorbuiging berekenen met behulp van Q®
Los de volgende DV op
\(\frac{d}{dr} \left[ \frac{1}{r} \frac{d}{dr} (r \frac{du}{dr}) \right]=- \frac{Q®}{K} \)
Met
\(K=\frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}\)
.
Hier is E de elasticiteitsmodulus en MPa (200MPa), h de dikte in mm, en
\(\nu\)
de coëfficient van Poisson 0.3.
De randvoorwaarden zijn
u(0)=0 en
\(\frac{d^2 u}{dr^2}(47.5)=0\)
De tweede randvoorwaarde drukt uit dat het moment aan de rand 0 is.
Het oplossen van deze niet lineaire vgl. is niet zo eenvoudig. Waarschijnlijk bestaan daar wel tabellen van maar ik heb het met de PC opgelost en vond:
u® = .1109338023e-2*r^2+.1333007812e-7*r^4-.2406004454e-3*r^2*ln®
De door buiging op de rand is dan u(47.5)=
0.475 mm.
Stap 4: berekenen van spanningen
\(M_r=K(\frac{d^2u}{dr^2}+\nu \frac{1 du}{r dr})\)
\(M_t=K(\frac{du}{r dr}+\nu \frac{d^2u}{dr^2})\)
(resultaten in Nmm en t=theta)
De spanningen zijn dan
\(\sigma_t=-12/h^3*M_t*z=105 MPa\)
\(\sigma_r=-12/h^3*M_r*z=31 MPa \)
(De getalwaarden stellen de maximale spanningen op de rand voor)
De spanning in het midden van de schijf kan niet berekend worden omdat er daar een singulariteit is. (De spanning is dus theoretisch oneindig omdat de schijf op een punt wordt ondersteund.)