sciencetalk

Ehm, ja, ik vrees dat ik je gelijk moet geven. Het was een denkfoutje van me. Op het moment dat de rode puntmassa de grijze homogene bol raakt, gebeuren er gekke dingen. Het 'gewichtloos' raken van de rode puntmassa binnen de buitenste denkbeeldige bolschillen van de grijze bol is 1 punt. Op dat moment begint er ook iets geks te gebeuren met de versnellingen van het geheel. De trage massa van de grijze bol blijt gelijk, terwijl de graviterende werking van de grijze bol (op de rode puntmassa) dus steeds kleiner wordt als de rode puntmassa verder door de grijze bol 'naar het midden zakt'. Op het eerste gezicht lijkt het energieniveau van elke individuele bolschil die de rode puntmassa traakt misschien precies gelijk aan die van een zwarte vervangpuntmassa op dezelfde 'hoogte'. Dat zou betekenen dat er inderdaad GEEN verschil is tussen een vallende zwarte puntmassa en een vallende grijze homogene bol. De rode puntmassa raakt immers gewichtsloos binnen deze bolschil. Maar Er zijn dus mogelijk nog verwarrende factoren.
 
Maar ik vind het toch een leuk denkfoutje. Het biedt misschien een kapstokje voor verder denken. Bijvoorbeeld: De geïdealiseerde materie van Newton is vormvast. Het vervormt niet onder toegenomen druk. Elke werklijke materie zal echter wel degelijk vervormen onder druk. Bepaalde 'geïdealiseerde' materie zal slechts elastisch vervormen (weer terugveren als de druk weggenomen wordt). Misschien kun je hier toch iets mee, een ingedrukte grijze bol heeft een kleinere radius dan de originele grijze bol. Dit vertaalt zich toch wel degelijk in een verandering in de hoeveelheid val-energie. Daar valt misschien nog vrij makkelijk een theoretisch model van te maken.
 
Andere materie is vloeibaar of gasvormig. In een gasplaneet zullen misschien stromingen optreden. Meer of minder wrijvingsloos. Misschien gebeurt er hierdoor iets met het massamidden van de vallende grijze bol. Als er een netto stroming omhoog' is'binnen de planeet bijvoorbeeld,. Een gasplaneet zul je misschien anders moeten modelleren dan een rotsachtig voorwerp

Ik vergat snelheid nog helemaal mee te nemen in de energie-beschouwing. Onderlinge snelheid van rode puntmassa en grijze bol.

tijdens de val maakt het volgens Newton misschien niet uit hoe groot de radius van de grijze bol is. Maar 'na afloop' van de val wel, als de grijze bol zich midden om de rode puntmassa bevindt. Daar zit een discrepantie. De opgetelde individuele atomen in de grijze bol hebben een andere potentiele val-energie bij een andere radius.

Het is maar net hoe praktisch of ideaal je een model wilt hebben. 
 
Elasticiteit is hier wel een aardig voorbeeld van: Als ik hier een zak zand over de balkonrailing gooi (meter of 50 tot de stoep) dan komt die waarschijnlijk tot stilstand in 1 grote plof op het trottoir - vrijwel alle kinetische energie wordt dan omgezet in thermische, maar potentieel is er nog 6000 km te vallen tot het midden van de aarde. Uiteraard gaat dat niet omdat die stoeptegels er tussen zaten, en daarom kost het ook nog moeite om die zak zand ook maar een centimeter op te tillen na de val. 
 
Gooi je pakweg iets als een tennisbal van deze hoogte naar beneden dan stuitert deze een stuk terug omhoog. Als het een ideaal elastisch object was zo hoog dat ik hem weer gewoon kon beetpakken, maar in de praktijk is het niet 100% elastisch en heb je vertraging door wrijving met de lucht. 
 
Voor praktische zaken worden niet-elastische botsingen zoals het geval met de zandzak wel gebruikt, bijvoorbeeld om te kijken hoeveel energie een kogel heeft als deze een zandzak die aan een touw hangt meegeeft. Als de kogel niet door de zandzak heen gaat en in het zand blijft steken kun je min of meer aannemen dat het een compleet niet-elastische botsing was met behoud van impuls. 

Er is het verschil tussen de theorie, die 100% moet kloppen, en de praktijk waarin je bijvoorbeeld met wrijvingswarmte te maken hebt, waardoor de werkelijkheid niet 100% overeenstemt met je theorie. De theorie moet echt 100% kloppen. Het mag bijvoorbeeld niet zo zijn dat je een theoretisch perpetuüm mobile kunt maken (een machine waaruit je eindeloos energie kunt putten).
 
En daar ben ik nog niet helemaal uit, in dit geval.
 
Ik zit ook nog na te denken over het verrschil tussen trage massa en graviterende massa onder het aardoppervlak. Het massadeel van de aarde boven je eigen hoogte (een bolschilvorm met dikte) doet NIET mee met de aantrekkingskracht richting het aardmidden. Maar deze bolschil boven je hoofd  vormt wel een trage massa, die het versnellen van de aardmassa extra bemoeilijkt. Bij een vallend voorwerp bewegen beide voorwerpen naar een gemeenschappelijk zwaartepunt. Als echter, de aarde een grotere trage massa heeft dan een aantrekkende massa, dan versneltde aarde zelf dus minder snel in de richting van dat gemeenschappelijk zwaartepunt dan als deze buitenste vastzitende bolschillaag er niet zou zijn. Dit effect is waarschijnlijk groter als het vallende object zwaarder is. Dit moet een bekend effect zijn, neem ik aan. Betekent dit, bijvoorbeeld in een mijnschacht onder de aarde, dat een zwaar obejct langzamer valt dan een minder zwaar object?

Alles dat in een mijnschacht past heeft een verwaarloosbare massa vergeleken met de aarde, en valt (op effecten door luchtwrijving na) even snel. 
 
De valversnelling is echter wel afhankelijk van de diepte: Als je een schacht zou maken die helemaal door het midden van de aarde loopt en er aan de andere kant weer uit komt, dan is de versnelling in het midden nul, en nabij het midden veel kleiner dan aan het oppervlak. Het maximum zit geloof ik wel een stuk onder de grond, maar er is een punt waarop het afneemt. 

Het maximum zit ergens op een diepte van 3000 km omdat daaronder de dichtheid van de aarde met een sprong toeneemt.
De maximale valversnelling ligt daar tussen de tien en elf m/s², dus niet bijzonder veel hoger dan aan het aardoppervlak.

Het verschil in dichtheid speelt inderdaad bij de aarde een rol, maar bij een homogene bal van gelijk formaat en gewicht zou je dat effect ook hebben lijkt me?

Nee, bij een homogene bol loopt de gravitatieversnelling in een rechte lijn vanaf de maximale waarde aan het oppervlak naar nul in het midden van de bol.

Ergens klinkt dat logisch, maar is het ook te berekenen, om bijvoorbeeld een grafiek te maken van de versnelling als functie van afstand van het midden tot een eindje in de lege ruimte erbuiten?

ik gebruik vaak dit soort grafiekje (schets) van de zwaartekracht(sversnelling) volgens Newton in en rondom een homogene bol (zelfde massa, twee verschillende  diameters)
   
Een opmerking: een puntmassa binnen in een holle bolschil is weliswaar gewichtloos ten opzichte van deze holle bolschil, maar dat betekent niet dat de puntmassa geen kracht uitoefent op de wand van de bolschil.
 
 
 

heb ik het trouwens goed als ik schat dat de aard-atmosfeer (ook een bolschil-vorm) een massa heeft die ongeveer 1 miljardste is van de totaalmassa van de aarde?

@Benm 
 
Zoals tuander al schrijft, alleen het deel van de bol met r < h (h hoogte vanaf middelpunt) doet mee voor de zwaartekracht,
 
M=ρ.(4/3).π.h³
 
terwijl de zwaartekrachtsversnelling omgekeerd evenredig is met h²:
 
g = G.M/h²
 
Samen dus g_h = ρ.G.(4/3).π.h

@tuander
 
De aardmassa is ca 6E24 kg, de totale massa van de atmosfeer kun je makkelijk schatten uit de luchtdruk aan het oppervlak, g en het aardoppervlak.

Ik maak een potje van de berekening, geloof ik. 

• aardradius = 6,371E6 meter
• oppervlak bol = 4*pi*r^2
• dus het aardoppervlak is ongever 5E14m^2
• gemiddelde luchtdruk is ongeveer 10 meter waterdruk
• per m^2 aardoppervlak dus 10 kubieke meter water, dus bij benadering 10.000 kilogram
• 10.000 kilogram * 5E14 = 5E19 kilogram lucht in de atmosfeer
• De totaalmassa van de aarde is 6E24 kilogram
• dus de atmosfeer maakt ongeveer 1/100.000e deel uit van de totaalmassa van de aarde?

Of ga ik fout bij de radius? de atmosfeer is ook enkele tientallen kilometers dik