Nog wat nader bekeken:
Gegeven n en r zoek je oplossingen (x, y, k) voor dit stelsel:
\(\left\{ \begin{matrix}
x^2 + (y-k)^2=r^2 & \Rightarrow k = y \pm \sqrt{r^2-x^2} & (1) \\
y=x^{2n}& & (2) \\
2n\cdot x^{2n-1}=\frac{-x}{y-k}& \Rightarrow k=y+\frac{1}{2n}x^{2-2n} & (3) \\
\end{matrix}
\right.\)
Uit (1) en (3) volgt (via kwadrateren en vermenigvuldigen met x
4n) :
\(x^{4n+2}-r^2x^{4n} + \frac{x^4}{4n^2}=0\)
Definieer t = x² dan wordt dit
\(t^2\cdot \left(t^{2n-1}-r^2t^{2n-2} + \frac{1}{4n^2}\right)=0\)
Als t = 0 dan is x = 0, volgt uit (2) dat y = 0 en uit (1) dat k = ±r. Dit geeft je 2 blauwe cirkels.
De overige oplossingen vindt je als (defineer functie g(t)):
\(g(t) = t^{2n-1}-r^2t^{2n-2} + \frac{1}{4n^2} = 0\)
waarbij t ≥ 0 (vanwege t = x²).
Omdat g(0) > 0 en g(∞) = ∞ > 0 hebben we voor nulpunten van g dus in ieder geval een minimum nodig.
Afgeleide nul stellen:
\(g'(t) = (2n-1)t^{2n-2}-(2n-2)r^2t^{2n-3} = 0\)
\(t^{2n-3} \left[ (2n-1)t-(2n-2)r^2\right] = 0\)
Voor t>0 vinden we voor mogelijk minimum t
∗
\(t^\star = \frac{(2n-2)r^2}{2n-1}\)
1. Als g(t
∗) < 0 zijn er 2 extra oplossingen voor t, dus 4 voor x en het stelsel
1 oplossing voor t tussen nul en t
∗, en 1 oplossing voor t > t
∗ (numeriek op te lossen)
Dit geeft 2 verschillende nieuwe cirkels in de grafiek
2. Als g(t
∗) = 0 is er 1 extra oplossing voor t, dus 2 voor x en het stelsel
Dan is t = t
∗, goed voor 1 nieuwe cirkel in de grafiek.
Maple ziet dit als 2 gelijke oplossingen (de dubbele oplossingen in jouw voorlaatste post).
De straal r waarvoor dit geldt noemen ze blijkbaar de kritische straal r
k
r
k is dus vrij eenvoudig meetkundig te bepalen = r
min uit mijn vorige post
3. Als g(t
∗) > 0 zijn er geen andere oplossingen dan t = 0 (je 2 blauwe cirkels)
PS:
Kan Maple ook exacte oplossingen geven voor r > r
k (bijvoorbeeld n = 3, r = 1.2) ?
(ik heb geen Maple)