Afgeleide van exotische functies

[Vladimir Lenin]

Volgens mij zijn er wel degelijk ordeningsregels binnen de complexe getallen, aangezien er een sign-functie gedefinieert is voor de complexe getallen:

\(csgn(z)=\left\{ \begin{array}{rcl}-1 & \mbox{for} & \Re(z) < 0 \cup (\Re(z)=0 \cap \Im(z) < 0) \\0 & \mbox{for} & \Re(z)=0 \cap \Im(z) < 0 \\1 & \mbox{for} & \Re(z) > 0 \cup (\Re(z)=0 \cap \Im(z) > 0)\end{array}\right.\)

Volgens mij volgen gewoon uit de sign-functie de ordeningsregels

Bovendien staat er alleen maar limiet opdat ze net 1 punt ervoor en 1 punt erachter willen definieren.

wanneer x bijvoorbeeld op 1 ligt, ligt het ene punt op 0.9999999999999999999999........ en zo voort in het oneindige, maar we weten allemaal dat:

\(0.9999...=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{9}{10^i}=\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}\)

wat convergeert naar 1

en het tweede punt ligt op 1.0000000000...00001 met een oneindige hoeveelheid nullen, wat dus gelijk is aan:

\(1+\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)

= 1

[TD]

Bovendien staat er alleen maar limiet opdat ze net 1 punt ervoor en 1 punt erachter willen definieren.

wanneer x bijvoorbeeld op 1 ligt, ligt het ene punt op 0.9999999999999999999999........ en zo voort in het oneindige, maar we weten allemaal dat:

\(0.9999...=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{9}{10^i}=\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}\)

wat convergeert naar 1

en het tweede punt ligt op 1.0000000000...00001 met een oneindige hoeveelheid nullen, wat dus gelijk is aan:

\(1+\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)

= 1

Nee, die uitdrukking "convergeert" niet alleen naar 1, die ís gewoon 1; 1 = 0,999... en niet "bijna".

Een uitdrukking zoals "1.0000000000...00001" is zinloos, dit (reëel?) getal bestaat helemaal niet.

[Vladimir Lenin]

Nee natuurlijk niet, maar het is wel het idee erachter, stel je neemt als delta 1, en je punt heeft als x-waarde 1. Hoeveel punten zitten er dan oneindig veel punten in het interval. Dus verklein je je delta, laat ons zeggen naar 0.1, hoeveel zitten er tussen opnieuw oneindig, dus nemen we voor delta 0.01 en zo gaat dat verder, tot we een delta hebben met waarde 0.0000...0001 met opnieuw oneindig veel nullen, "oneindig klein" zou ik het noemen maar dat werkt verwarrend met -oneindig tot je in feite 1 punt naar links en 1 punt naar rechts bent opgeschoven met je x. Dit is uiteraard in het reëele vlak, in het natuurlijk kan de delta niet kleiner zijn dan 1

[TD]

Ik volg eigenlijk niet helemaal waar je heen wil, maar je herhaalt hier wel

tot we een delta hebben met waarde 0.0000...0001 met opnieuw oneindig veel nullen, "oneindig klein" zou ik het noemen maar...

en dat kan niet... De 'uitdrukking' 0.0000...0001 (waarbij je de puntjes niet gebruikt voor een eindig maar groot aantal nullen, maar een oneindig aantal nullen) is geen reëel getal; dit bestaat niet.

[Vladimir Lenin]

Uiteraard bestaat het niet want het is 0, het is alleen maar dat ik dit gebruik om m'n punt te verduidelijken, overigens bedoelde ik het aantal nullen dus. Sorry als het wat verwarrend was.

[jhnbk]

wij leerden vroeger op school

\(x=0,999\ldots\)

\(10x=9,99\ldots\)

dus:

\(10x -x =9,99\ldots - 0,999\ldots \)

\(9x=9 \)

dus x=1

[Vladimir Lenin]

dat heb ik al gezegd. Maar zo kan je natuurlijk blijven verdergaan. Hoedanook het wordt een beetje of-topic. Heeft er iemand een idee hoe ik met de defenitie (die ik zojuist gegeven heb) de afgeleide van de ggd en het kgv kan vinden

[Bert F]

Ik heb het volledige topic niet gevolgd maar denk te begrijpen dat men onder andere voor functie van de natuurlijke naar de natuurlijke afgeleiden wil invoeren.

Zelf heb ik hier nog nooit van gehoord maar heb het volgende bedacht: Een afgeleide invoeren is moeilijk kunnen we niet in plaats daarvan het analoog van een integraal invoeren? dit is toch een som? Als je nu een functie van N naar N beschouwt en zegt dat de integraal per definitie de som geassocieerd aan de reeks is dan heb je mss een integraal ingevoerd.

Als je nu zegt dat je voor een rij een nieuwe functie kan vinden die de som der partiele somen geeft dan kan je die mss de primitieve van de rij noemen.

Omdat je nu een primitieve ingevoerd hebt kan je omgekeerd de afgeleide definiëren.

Nogmaals zelf heb ik hier nog nooit iets over gehoord en weet ook niet dat het enige zin heeft, maar dat kwam bij mij op toen ik las dat men opzoek was naar afgeleide voor natuurlijke functies.

Groeten.

[A.Square]

Dat is een beetje het verschil tussen een differentie en een differentiaal

Differentie: http://nl.wikipedia.org/wiki/Differentievergelijking

Differentiaal: http://nl.wikipedia.org/wiki/Differentiaalvergelijkingen

Quoteje van de wiki: "Een differentievergelijking is het discrete analogon van een differentiaalvergelijking"

[Vladimir Lenin]

Nou nee, ik denk dat Bert F. bedoelt dat we voor functies die niet discreet zijn (die dus enkel op bijvoorbeeld de natuurlijke getallen zichzelf afbeelden, doormiddel van de trapeziumregel toe te passen, ook tot een integraal komen, ook hier is de delta weer 1, in het reëele vlak gaat de delta naar nul, het gaat naar het kleinste getal verwijdert van nul, in het natuurlijk veld is dat getal uiteraard 1.

dus kunnen we zeggen dat:

\(f(x):\nn \to \nn : x \mapsto f(x) \Leftrightarrow \int_{m}^{n}{f(x)dx}=\sum_{i=m}^{n-1}f(i)+\frac{f(i+1)-f(i)}{2}}=\sum_{i=m}^{n-1}\frac{f(i+1)+f(i)}{2}\)

[Vladimir Lenin]

Maar goed, dat was m'n vraag eigenlijk niet, het was meer iets als: wat is de afgeleide van tal van andere functies. Ik bedoel niet alleen de ggd en kgv maar bijvoorbeeld:

\(\frac{d}{dx}\max(f(x),g(x))\)

\(\frac{d}{dx}\min(f(x),g(x))\)

Nu weet ik al, dat iedereen gaat afkomen, dat deze ook niet continu zijn, of toch niet altijd. Meestal eigenlijk wel. M'n vraag bij deze functies is, om je in dat geval een afgeleide met meervoudig functievoorschrift dient op te schrijven, of dat je het om een andere manier kan afleiden, en wat mag dan wel de integraal van die functies zijn.

[dtech]

Nou weet ik niet de preciese definites van min en max, maar een mogelijke zou me dit lijken:

\(\max (a,b) = \left\{ \begin{array}{l} a\;for\;a \ge b \\ b\;for\;b > a \\ \end{array} \right.\)

Dan zou daaruit volgen:

\(\[\frac{d}{{dx}}\max (f(x),g(x)) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{df}}{{dx}}\;for\;f(x) > g(x) \\ \frac{{dg}}{{dx}}\;for\;g(x) > f(x) \\ \end{array} \right.\]\)

Hij lijkt me niet te definiëren bij f(x)=g(x), aangezien er dan geen reden is f'(x) of g'(x) te gebruiken.

En bij min natuurlijk hetzelfde principe. Of is dat te simpel gedacht?

[Vladimir Lenin]

Precies, wat ik ook al dacht, maar wat ik me afvroeg was of je het niet in één vergelijking kunt stoppen dus:

\(\frac{d}{dx}\max(f(x),g(x))=h(x)\)

Bovendien is volgens mij de functie Max altijd continu wanneer f(x) en g(x) continu zijn.

[Phys]

Hij lijkt me niet te definiëren bij f(x)=g(x), aangezien er dan geen reden is f'(x) of g'(x) te gebruiken.

Als f(x)=g(x), dan is er toch geen verschil tussen f'(x) en g'(x)?

[Vladimir Lenin]

Het hangt er van af of je de functiewaarde of de functie zelf bedoelt. Stel f(x) = x+1, en g(x) = x²-1, dan is in x=2 f'(x) = 1 maar g'(x)=4