Inverse

[dirkwb]

Sinds wanneer?

Bij puntsgewijze convergentie houd je de x vast en varieer je de n (in dit geval). Bij uniforme convergentie is x variabel en convergeert deze voor n richting oneindig (zoals je vast wel geleerd heb in je studie). Vergeet niet dat dit een rij van functies is die gedefinieerd is voor een deelverzameling van R en bij dit soort rijen van functies zijn termen zoals compleetheid, cauchyrijen en normen van belang.

[PeterPan]

Bij puntsgewijze convergentie houd je de x vast en varieer je de n (in dit geval). Bij uniforme convergentie is x variabel en convergeert deze voor n richting oneindig (zoals je vast wel geleerd heb in je studie). Vergeet niet dat dit een rij van functies is die gedefinieerd is voor een deelverzameling van R en bij dit soort rijen van functies zijn termen zoals compleetheid, cauchyrijen en normen van belang.

Kortom, uniforme convergentie is hier niet van belang.

[dirkwb]

Kortom, uniforme convergentie is hier niet van belang.

Hoezoe niet? Volgens mij juist wel, met uniforme convergentie bewijs je dat het convergeert. Of zie iets over het hoofd?

[PeterPan]

Uniforme convergentie gebruik je doorgaans om aan te tonen dat een functie continu is.

Een uniforme limiet van een rij continue functies is continu.

Bijvoorbeeld:

\(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}\)

.

Deze functie

\(f\)

is continu op

\(\rr\)

, omdat hij een uniforme limiet is van continue functies.

Bewijs:

\(|\frac{\sin(nx)}{n^2}| \le \frac{1}{n^2}\)

voor alle

\(x\)

, en

\(\sum \frac{1}{n^2}\)

convergeert.

[kotje]

inverse 528 keer bekeken

Zoals men ziet op figuur heeft de functie geen inverse voor x ]- ,+ [ omdat zij 2 snijpunten heeft met een rechte evenwijdig x-as. Om een inverse te vinden is men verplicht (denk ik) de functie in 2 stukken te knippen. Een stuk met x tussen - en 1 en een stuk met x [grotergelijk]1. Om grafisch de inverse te vinden spiegelt men de 2 stukken t.o.z. bissectrice 1ste en 3de kwadrant.

[PeterPan]

De inverse was gedefinieerd op

\([e,\infty)\)

en de functie

\(f\)

op

\([1,\infty)\)

.

\(\log(x\log(x\cdots))\)

is niet gedefinieerd buiten dat gebied.