sciencetalk

We gaan uit van eerder gevonden resultaten. Laat V een D-dimensionale vectorruimte (over R) zijn en laat verder e_i en e'_j voor i,j = 1, 2, ... , D twee stelsels basisvectoren zijn voor V. Dan zijn er reële getallen a_jⁱ en b_l^k voor i,j,k,l = 1, 2, ... , D zodat:

\(\)

\( \mathbf{e'}_j = a_j^i \mathbf{e}_i \,\,\,\, \& \,\,\,\, \mathbf{e}_l = b_l^k \mathbf{e'}_k \)

\(\)

Deze reële getallen a_jⁱ en b_l^k vormen (met de superscripts als rij-nummers en de subscripts als kolom-nummers) twee reële DxD matrices A en B. We zien dat de opeenvolgende kolommen van matrix A gelijk zijn aan de basisvectoren e'_j geschreven als kolomvectoren ten opzichte van de basis e_i. We zagen eerder dat dan geldt:

\(\)

\( \mathrm{B} = \mathrm{A}^{-1} \)

\(\)

Laat nu \( \vec{v} \) de schijfwijze van v als kolomvector in de basis e_i zijn, en \( \vec{v'} \) de schijfwijze van v als kolomvector in de basis e'_j. Dan geldt voor ieder invariant element v van V dat:

\(\)

\( \vec{v'} = \mathrm{B} \cdot \vec{v} \)

\(\)

\( \vec{v'} = \mathrm{A}^{-1} \cdot \vec{v} \)

\(\)

Dan introduceren we nu de aan V duale lineaire ruimte V* bestaande uit alle lineaire functionalen op V met als optelling:

\(\)

\( ( \varphi + \psi )(\mathbf{v}) = \varphi( \mathbf{v} ) + \psi )(\mathbf{v}) \)

\(\)

en scalaire vermenigvuldiging:

\(\)

\( (a \cdot \varphi )(\mathbf{v}) = a \cdot \varphi( \mathbf{v} ) \)

\(\)

Vanuit de twee stelsels basisvectoren e_i en e'_j voor i,j = 1, 2, ... , D voor V kunnen we nu twee stelsels basis-covectoren ωⁱ en ω'^j voor i,j = 1, 2, ... , D vormen middels:

\(\)

\( \omega^i(\mathbf{e}_k) = \delta_k^i \,\,\,\, \& \,\,\,\, \omega'^j(\mathbf{e'}_l) = \delta_l^j \)

\(\)

Vormen ωⁱ en ω'^j nu inderdaad ook twee bases van V* ? Aangezien de elementen van V* lineair zijn hebben we voor alle v uit V en φ uit V* dat:

\(\)

\( \varphi(\mathbf{v}) = \varphi( v^i \mathbf{e}_i ) = \varphi( v'^j \mathbf{e'}_j ) \)

\(\)

\( \varphi(\mathbf{v}) = \varphi( \mathbf{e}_i ) \, v^i = \varphi( \mathbf{e'}_j ) \, v'^j \)

\(\)

\( \varphi(\mathbf{v}) = \varphi( \mathbf{e}_i ) \, \omega^i(\mathbf{v}) = \varphi( \mathbf{e'}_j ) \, \omega'^j(\mathbf{v}) \)

\(\)

Dus:

\(\)

\( \varphi = \varphi( \mathbf{e}_i ) \, \omega^i = \varphi(\mathbf{e'}_j ) \, \omega'^j \)

\(\)

De stelsels ωⁱ en ω'^j zijn dus allebei volledig. Rest nog na te gaan of de covectoren uit die beide stelsels ook lineair onafhankelijk zijn.

\(\)

Indien λ_i ωⁱ ≡ μ_j ω'^j ≡ 0 dan geldt ook dat:

\(\)

\( \lambda_i \omega^i(\mathbf{e}_k) = \mu_j \omega'^j(\mathbf{e}_k) = 0 \)

\(\)

\( \lambda_i \delta_k^i = \mu_j \delta_k^j = 0 \)

\(\)

\( \lambda_k = \mu_k = 0 \)

\(\)

De covectoren uit de twee stelsels ωⁱ en ω'^j zijn dus ook allebeide lineair onafhankelijk. En dus vormen ze inderdaad twee stelsels van basis-covectoren.

Later verder...

Omdat V* een D-dimensionale vectorruimte (over R) is zijn er reële getallen c_i^j en d_k^l zodat:

\(\)

\( \omega'^j = c_i^j \omega^i \,\,\,\, \& \,\,\,\, \omega^l = d_k^l \omega'^k \)

\(\)

En dus:

\(\)

\( \omega'^j = c_i^j d_k^i \omega'^k \,\,\,\, \& \,\,\,\, \omega^l = d_k^l c_i^k \omega^i \)

\(\)

\( c_i^j d_k^i = \delta_k^j \,\,\,\, \& \,\,\,\, d_k^l c_i^k = \delta_i^l \)

\(\)

\( d_k^i c_i^j = \delta_k^j \,\,\,\, \& \,\,\,\, c_i^k d_k^l = \delta_i^l \)

\(\)

Deze reële getallen c_i^j en d_kⁱ vormen (met de superscripts als rij-nummers en de subscripts als kolom-nummers) twee reële DxD matrices C en D. Laat nu \( \tilde{\varphi} \) de schijfwijze van de covector φ als rijvector in de basis ωⁱ zijn, en \( \tilde{\varphi'} \) de schijfwijze van de covector φ als rijvector in de basis ω'^j. Dan hebben we:

\(\)

\( \mathrm{D} \cdot \mathrm{C} = \mathrm{I} \)

\(\)

\( \mathrm{C} \cdot \mathrm{D} = \mathrm{I} \)

\(\)

\( \mathrm{D} = \mathrm{C}^{-1} \)

\(\)

Schijven we de covector φ in de twee bases ωⁱ en ω'^j dan vinden we:

\(\)

\( \varphi_i \omega^i = \varphi'_j \omega'^j \)

\(\)

\( \varphi_i \omega^i = \varphi'_j c_l^j \omega^l \)

\(\)

\( \varphi_i = \varphi'_j c_i^j \)

\(\)

\( \tilde{\varphi} = \tilde{\varphi'} \cdot \mathrm{C} \)

\(\)

Waardoor:

\(\)

\( \tilde{\varphi} \cdot \mathrm{D} = \tilde{\varphi'} \cdot \mathrm{C} \cdot \mathrm{D} \)

\(\)

\( \tilde{\varphi} \cdot \mathrm{C}^{-1} = \tilde{\varphi'} \cdot \mathrm{I} \)

\(\)

\( \tilde{\varphi'} = \tilde{\varphi} \cdot \mathrm{C}^{-1} \)

Laten we nu ook voor onze covectoren het eenvoudige geval bekijken waarin de nieuwe basis voldoet aan: ω'ⁱ = c.ωⁱ met c ≠ 0. Dan hebben we: \( c_i^j = c \delta_i^j \) . Zodat: \( \mathrm{C} = c \cdot \mathrm{I} \). en \( \mathrm{C}^{-1} = \frac{1}{c} \cdot \mathrm{I} \). Ook in het geval van covectoren variëren de componenten van \( \varphi' \) dus omgekeerd evenredig met een herschaling volgens c van de basis-covectoren. En dat was voor een vectorruimte ook eigenlijk niet anders te verwachten.

Later meer...

Nu is het nog de vraag waar die naam covariante vectoren dan op slaat. Ik vermoed dat daarmee bedoeld wordt dat de componenten van een covector recht evenredig variëren met de lengtes van de basisvectoren in de vectorruimte V wanneer we de duale ruimte V* en de basis-covectoren van V* uit V afleiden...

flappelap schreef: ↑zo 22 dec 2019, 11:42
Professor Puntje schreef: ↑zo 22 dec 2019, 09:54 Zoiets heb ik (toen nog onder de naam Bartjes) hier op het Wetenschapsforum al eens afgeleid in verband met een discussie over een sprong op de draaiende aarde:

(Helaas is het niet langer mogelijk naar de betreffende post te linken. )
Zul jij blij zijn als je straks tensornotatie kunt begrijpen Dan leid je dit in een paar regels af

Zoiets?

We gaan uit van twee assenstelsels xyz en x'y'z' met dezelfde oorsprong O en een samenvallende z-as en z'-as. Het xyz-stelsels vormt een inertiaalstelsel en het x'y'z'-stelsel roteert met constante hoeksnelheid \( \vec{\omega} = ω \mathbf{e}_z \) om de z-as. Een puntdeeltje P met massa m beweegt onder invloed van een kracht \( \vec{F} \) door het xyz-stelsel. Vanuit het x'y'z'-stelsel bezien lijkt het puntdeeltje P te bewegen onder invloed van een kracht \( \vec{F'} \). Het verschil \( \vec{F}_s = \vec{F'} - \vec{F} \) is gelijk aan de som van de schijnkrachten. De plaatsvector van P uitgedrukt in de coördinaten van het xyz-stelsel en geschreven als kolomvector noemen we \( \vec{r} \), en de plaatsvector van P uitgedrukt in de coördinaten van het x'y'z'-stelsel eveneens geschreven als kolomvector noemen we \( \vec{r'} \).

Iedere rotatie R om de oorsprong in R³ kan worden geschreven als:

\(\)

\( \mathrm{R} = e^{\mathrm{A}} \)

\(\)

Met:

\(\)

\( \mathrm{A} = \theta_x \, \mathcal{J}_x + \theta_y \, \mathcal{J}_y + \theta_z \, \mathcal{J}_z \)

\(\)

Waarin \( \theta_x \) , \( \theta_y \) en \( \theta_z \) reële getallen zijn en:

\(\)

\( \mathcal{J}_x = \left ( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ \end{array} \right ) \)

\(\)

\( \mathcal{J}_y = \left ( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right ) \)

\(\)

\( \mathcal{J}_z = \left ( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right ) \)

\(\)

Zodat:

\(\)

\( \vec{r'} = \mathrm{R} \cdot \vec{r} \)

\(\)

We bekijken een rotatie om de z-as. Dus hebben we:

\(\)

\( \mathrm{R} = e^{\theta \, \mathcal{J}_z } \,\,\, (\mbox{met} \, \theta = \theta_z \,) \)

\(\)

Voor de (schijnbare) versnelling van een punt P vinden we dan:

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} t^2} \vec{r'} = \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} t^2} \left ( \mathrm{R} \cdot \vec{r} \right ) \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} t^2} \vec{r'} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left ( \dot{\mathrm{R}} \cdot \vec{r} \, + \, \mathrm{R} \cdot \vec{v} \right ) \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} t^2} \vec{r'} = ( \ddot{\mathrm{R}} \cdot \vec{r} + \dot{\mathrm{R}} \cdot \vec{v} ) \, + \, ( \dot{\mathrm{R}} \cdot \vec{v} + \mathrm{R} \cdot \vec{a} ) \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} t^2} \vec{r'} = \ddot{\mathrm{R}} \cdot \vec{r} + 2 \dot{\mathrm{R}} \cdot \vec{v} + \mathrm{R} \cdot \vec{a} \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} t^2} \vec{r'} = ( \omega \, \mathcal{J}_z )^2 \mathrm{R} \cdot \vec{r} + 2 \omega \, \mathcal{J}_z \mathrm{R} \cdot \vec{v} + \mathrm{R} \cdot \vec{a} \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} t^2} \vec{r'} = ( \omega \, \mathcal{J}_z )^2 \mathrm{R} \cdot \vec{r} + 2 \omega \, \mathcal{J}_z \mathrm{R} \cdot \vec{v} + ( \mathrm{R} - \mathrm{I}) \cdot \vec{a} + \vec{a} \)

\(\)

Zodat:

\(\)

\( \mathrm{m} \, \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} t^2} \vec{r'} = \mathrm{m} \, ( \omega \, \mathcal{J}_z )^2 \mathrm{R} \cdot \vec{r} + \mathrm{m} \, 2 \omega \, \mathcal{J}_z \mathrm{R} \cdot \vec{v} + \mathrm{m} \, ( \mathrm{R} - \mathrm{I}) \cdot \vec{a} + \mathrm{m} \, \vec{a} \)

\(\)

\( F' = \mathrm{m} \, ( \omega \, \mathcal{J}_z )^2 \mathrm{R} \cdot \vec{r} + 2 \mathrm{m} \, \omega \, \mathcal{J}_z \mathrm{R} \cdot \vec{v} + \mathrm{m} \, ( \mathrm{R} - \mathrm{I}) \cdot \vec{a} + F \)

\(\)

\( F_s = \mathrm{m} \, ( \omega \, \mathcal{J}_z )^2 \mathrm{R} \cdot \vec{r} + 2 \mathrm{m} \, \omega \, \mathcal{J}_z \mathrm{R} \cdot \vec{v} + \mathrm{m} \, ( \mathrm{R} - \mathrm{I}) \cdot \vec{a} \)

\(\)

(Tenminste - als we ook op deze matrices de gebruikelijke rekenregels voor differentiëren mogen toepassen...)

Professor Puntje schreef: ↑di 24 dec 2019, 17:05 Nu is het nog de vraag waar die naam covariante vectoren dan op slaat. Ik vermoed dat daarmee bedoeld wordt dat de componenten van een covector recht evenredig variëren met de lengtes van de basisvectoren in de vectorruimte V wanneer we de duale ruimte V* en de basis-covectoren van V* uit V afleiden...

Kennelijk bestaat er naast de gebruikelijke parallelle ontbinding van een vector ten opzichte van een basis van een vectorruimte ook nog een ontbinding waarbij de componenten van de vector gevonden worden door het nemen van het inproduct met de basisvectoren. In het eerste geval spreken we over contravariante componenten, en in het tweede geval over covariante componenten. Bovendien pakken die twee vormen van ontbinding voor orthonormale cartesische stelsels hetzelfde uit. Zeer verwarrend allemaal! Maar zie dit filmpje:

Kunnen we dan zeggen dat voor contravariante vectoren hun contravariante componenten contravariëren (= omgekeerd evenredig variëren) met de basisvectoren en dat bij covariante vectoren hun covariante componenten covariëren (= recht evenredig variëren) met de basisvectoren?

En bestaan er dan wellicht ook vectoren die zowel contra- als covariant zijn?

Het ziet er naar uit dat onderstaande het (formeel) juiste antwoord is:

https://www.physicsforums.com/threads/c ... st-3007287

Professor Puntje schreef: ↑wo 25 dec 2019, 12:19 Kunnen we dan zeggen dat voor contravariante vectoren hun contravariante componenten contravariëren (= omgekeerd evenredig variëren) met de basisvectoren en dat bij covariante vectoren hun covariante componenten covariëren (= recht evenredig variëren) met de basisvectoren?

En bestaan er dan wellicht ook vectoren die zowel contra- als covariant zijn?

Nee en nee. Zoals ik zei: "contra" is t.o.v. de standaardbasis voor "gewone" vectoren. De componenten van een duale vector transformeren net zo als de basis voor een gewone vector.

Ik zou gewoon de term "duale" vector aanhouden. Vectoren en duale vectoren leven in verschillende ruimtes.

Zie trouwens dat ik ook gereageerd heb in dat physicsforums topic. Da's lang geleden

flappelap schreef: ↑wo 25 dec 2019, 15:43 Zie trouwens dat ik ook gereageerd heb in dat physicsforums topic. Da's lang geleden

Was dat nog als student?

Ik zal die termen "contravariante vector" en "covariante vector" maar voorlopig laten rusten. Ze bezorgen (mij) vooral verwarring, en bij gebruik van moderne terminologie heb je ze ook niet nodig.

Professor Puntje schreef: ↑wo 25 dec 2019, 19:13
flappelap schreef: ↑wo 25 dec 2019, 15:43 Zie trouwens dat ik ook gereageerd heb in dat physicsforums topic. Da's lang geleden
Was dat nog als student?

Ik zal die termen "contravariante vector" en "covariante vector" maar voorlopig laten rusten. Ze bezorgen (mij) vooral verwarring, en bij gebruik van moderne terminologie heb je ze ook niet nodig.

Ik promoveerde toen al.

Covariant kun je ook als "beneden-index" lezen ("co goes below") en contravariant als "boven-index". Het is inderdaad slechts terminologie

Ik probeer nog dit jaar hoofdstuk I.4 Who Is Afraid of Tensors? door te werken en de opgaven van dat hoofdstuk te maken. Als me dat lukt dan kan ik het volgende jaar in ieder geval beginnen vanuit een praktijkgerichte voorstelling van tensoren volgens natuurkundigen en technici. Ik heb er deze december-maand vanwege mijn vele vrije dagen heel veel tijd in kunnen steken, maar dat zal in het nieuwe jaar weer een stuk minder zijn. Daarom zou het fijn zijn als de voornaamste hobbel (wat is een tensor?) dan al genomen is.

Nog één vraag over Zee's definitie van tensoren: hij kijkt enkel naar rotaties als coördinaten-transformaties en niet naar algemene lineaire transformaties. Maakt dat verschil voor wat volgens hem wel of niet tensoren zijn?

Professor Puntje schreef: ↑do 26 dec 2019, 00:00 Nog één vraag over Zee's definitie van tensoren: hij kijkt enkel naar rotaties als coördinaten-transformaties en niet naar algemene lineaire transformaties. Maakt dat verschil voor wat volgens hem wel of niet tensoren zijn?

Antwoord al gevonden: de definitie met rotaties levert Cartesische tensoren, maar die definitie wordt later door Zee gegeneraliseerd naar een algemenere definitie van tensoren die ook nog voor gekromde ruimtes bruikbaar is.

Bij een tensor moet je formeel de groep transformaties vermelden. Vaak gebeurt dat impliciet. Zo is de Christoffel connectie (Gamma) geen tensor onder algemene coördinaten transformaties, maar b.v. wel onder Lorentz transformaties. Net zoals de tweede wet van Newton geen tensor is onder versnellingen, maar wel onder Galilei transformaties.

Misschien interessant om toch even te vermelden dat de begrippen co- en contravariant, evenals invariant, door de Engelse wiskundige James Joseph Sylvester (1814-1897) zijn ingevoerd.

sciencetalk

Anthony Zee's "Einstein Gravity in a Nutshell"

Re: Anthony Zee's "Einstein Gravity in a Nutshell"

Re: Anthony Zee's "Einstein Gravity in a Nutshell"

Re: Anthony Zee's "Einstein Gravity in a Nutshell"

Re: Anthony Zee's "Einstein Gravity in a Nutshell"

Re: Anthony Zee's "Einstein Gravity in a Nutshell"

Re: Anthony Zee's "Einstein Gravity in a Nutshell"

Re: Anthony Zee's "Einstein Gravity in a Nutshell"

Re: Anthony Zee's "Einstein Gravity in a Nutshell"

Re: Anthony Zee's "Einstein Gravity in a Nutshell"

Re: Anthony Zee's "Einstein Gravity in a Nutshell"

Re: Anthony Zee's "Einstein Gravity in a Nutshell"

Re: Anthony Zee's "Einstein Gravity in a Nutshell"

Re: Anthony Zee's "Einstein Gravity in a Nutshell"

Re: Anthony Zee's "Einstein Gravity in a Nutshell"

Re: Anthony Zee's "Einstein Gravity in a Nutshell"