109 van 117
Re: [wiskunde] integralen / integreren
Geplaatst: vr 28 mar 2008, 21:00
door TD
Je gaat zo'n dingen "zien" als je genoeg oefent. Die a^4 moet je niet afschrikken, dat is maar een constante. Ik zag een z in de teller dus met een substitutie kan je daarmee overgaan op de variabele z² (want de afgeleide daarvan is evenredig met z). De noemer is dan een constante plus het kwadraat van die variabele (z² in het kwadraat), dat doet aan een inverse tangens denken...
Re: [wiskunde] integralen / integreren
Geplaatst: di 01 apr 2008, 16:47
door foodanity
Hoe pak ik deze aan?
\(\int \sqrt{1+e^{2x}}\)
Re: [wiskunde] integralen / integreren
Geplaatst: di 01 apr 2008, 22:46
door Morzon
Substitueer:
\(u=\sqrt{1+e^{2x}} \Rightarrow du=\frac{u^2-1}{u} \ dx \)
Re: [wiskunde] integralen / integreren
Geplaatst: wo 02 apr 2008, 18:21
door foodanity
Oke, ff kijken:
\(\int \sqrt{1+e^{2x}}dx\)
substitutie geeft:
\(u=\sqrt{1+e^{2x}} \Rightarrow du=\frac{u^2-1}{u} \ dx \)
Je hebt:
\(u dx\)
, dus wordt het:
\(\int \frac {u^2}{u^2-1}du\)
Dan met merkwaardig product:
\( \frac {1}{2} \int \frac {u^2}{u-1} - \frac {u^2}{u+1}du = \frac {1}{2} \int (u + 1 + \frac {1}{u-1}) - (u - 1 + \frac {1}{u+1})du\)
vereenvoudigen geeft:
\(\frac {1}{2} \int 2+ \frac {1}{u+1} - \frac {1}{u+1}du\)
en warempel! Die kan ik wel primitiveren!:
\(\frac {1}{2} (2u + ln (u-1) - ln (u+1) \)
en dat is gelijk aan:
\( u + ln (\frac {u-1}{u+1})\)
Terugsubstitueren geeft:
\(\sqrt{1+e^{2x}} + ln (\frac {\sqrt{1+e^{2x}}-1}{\sqrt{1+e^{2x}}+1}) = \sqrt{1+e^{2x}} + ln (1 - \frac {2}{\sqrt{1+e^{2x}}+1})\)
Is die nog verder te herleiden? Klopt ie? Was best wel lastig, door dat merkwaardige product...
Re: [wiskunde] integralen / integreren
Geplaatst: wo 02 apr 2008, 19:10
door HosteDenis
foodanity schreef:Die kan ik wel primitiveren!:
\(\frac {1}{2} (2u + \ln (u-1) - \ln (u+1)) \)
en dat is gelijk aan:
\( u + \ln (\frac {u-1}{u+1})\)
Ik keek niet of je in de fout ging met je merkwaardig product (te lui), maar wat hierboven staat is fout:
\(\frac {1}{2} (2u + \ln (u-1) - \ln (u+1))\)
is gelijk aan
\( u + \frac{1}{2} \ln (\frac {u-1}{u+1})\)
Denis
Re: [wiskunde] integralen / integreren
Geplaatst: wo 02 apr 2008, 19:27
door foodanity
@Denis: Ik kwam er achter dat het een foutje was ja, die half vergeten... stom van me
maar... nu zag ik op de integrator van wolfram dat het antwoord was:
\(\sqrt{1+e^{2x}} - arctanh (\sqrt{1+e^{2x}}) \)
met wat googlen, omdat ik niet erg bekend ben met hyperbolische functies, zag ik dat de arctanh ook te schrijven is (voor reeele nummers) als:
\(\frac {1}{2}ln \frac {x+1}{1-x}\)
dus met dat minteken uit de integrator ervoor wordt het volgens die integrator:
\(\sqrt{1+e^{2x}} + \frac {1}{2}ln \frac {1-x}{x+1}\)
maar mijn antwoord was x-1 in plaats van 1-x, dus zou ik verwachten dat het een arccoth moet zijn want daar is de formule van:
\(\frac {1}{2}ln \frac {x+1}{x-1}\)
en dat correspondeert wel met mn antwoord. Waar is het dus fout gegaan? Of is de integrator fout? (dat laatste lijkt me stug)
Re: [wiskunde] integralen / integreren
Geplaatst: wo 02 apr 2008, 23:30
door floRobi
Ik kom ook
\(\frac {1}{2}ln \frac {x+1}{x-1}\)
uit.
Re: [wiskunde] integralen / integreren
Geplaatst: do 03 apr 2008, 13:06
door Morzon
Morzon schreef:Substitueer:
\(u=\sqrt{1+e^{2x}} \Rightarrow du=\frac{u^2-1}{u} \ dx \)
\(\int \sqrt{1+e^{2x}} \ dx \Rightarrow \int \frac{u^2}{u^2-1} \ du=\int \frac{u^2-1+1}{u^2-1} \du = \int 1+\frac{1}{u^2-1} \ du \)
Laatste stukje kan je met breuksplitsen doen.
Re: [wiskunde] integralen / integreren
Geplaatst: do 03 apr 2008, 15:58
door foodanity
Oke, dat is wat sneller ja, klopt.. komt op hetzelfde neer alleen is het stukken minder schrijfwerk.
Maareuhm: hoe zit dat nou met die arctanh van de integrator en de arccotanh volgens ons? Foutje van de integrator dus toch?
Re: [wiskunde] integralen / integreren
Geplaatst: do 03 apr 2008, 19:25
door Morzon
Afgeleide van arccoth(x) en arctanh(x) zijn het zelfde, maar de domein waarin deze functies geldig zijn verschillen.
Verder kan je al de relaties afleiden uit de definities van hyperbolische functies.
Re: [wiskunde] integralen / integreren
Geplaatst: vr 04 apr 2008, 19:49
door HosteDenis
\(\int \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} \; dx\)
Ik moet er nog exact 11 maken. Het einde is een zicht!
Kan iemand me nog even met bovenstaande integraal helpen?
Dankje
Denis
Re: [wiskunde] integralen / integreren
Geplaatst: vr 04 apr 2008, 23:15
door dirkwb
Gebruik t-substitutie:
\( cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2} \)
\( \int \left( \frac{ 1- \frac{1-t^2}{1+t^2} }{ 1+ \frac{1-t^2}{1+t^2}} \right) \frac{2}{1-t^2}\ dt = \int \frac{2t^2}{(1+t)^2}\ dt \)
Re: [wiskunde] integralen / integreren
Geplaatst: vr 04 apr 2008, 23:22
door dirkwb
Of gebruik x=2u:
\( 2 \cdot \int \frac{1-\cos(2u)}{1+\cos(2u)} du = 2 \cdot \int \tan^2(u) du = 2 \cdot \int \frac{\sin(u)}{\cos^2(u)} \sin(u) du \)
Nu partieel integreren toepassen.
Re: [wiskunde] integralen / integreren
Geplaatst: za 05 apr 2008, 02:13
door TD
Partieel integreren? Of eenvoudiger: sin²u = 1-cos²u dus er staat 1/cos²(x)-1.
Re: [wiskunde] integralen / integreren
Geplaatst: za 05 apr 2008, 12:31
door floRobi
dirkwb schreef:Gebruik t-substitutie:
\( cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2} \)
\( \int \left( \frac{ 1- \frac{1-t^2}{1+t^2} }{ 1+ \frac{1-t^2}{1+t^2}} \right) \frac{2}{1-t^2}\ dt = \int \frac{2t^2}{(1+t)^2}\ dt \)
Enkele typfouten
\(dx = \frac{2}{1+t^2}\ dt\)
\(\int \frac{2t^2}{(1+t)^2}\ dt \rightarrow \)
geen haakjes in de noemer
\( \rightarrow \int \frac{2t^2}{1+t^2}\ dt\)
dus het wordt:
\( cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2} \)
\( \int \left( \frac{ 1- \frac{1-t^2}{1+t^2} }{ 1+ \frac{1-t^2}{1+t^2}} \right) \frac{2}{1+t^2}\ dt = \int \frac{2t^2}{1+t^2}\ dt \)
Nu +1-1 en je hebt het.