Twee pieken of toch maar één?

[wnvl1]

Dichter bij een zwart gat lijkt het voor een buitenstaander dat de tijd trager gaat voor een buitenstaander.

Analoog lijkt het dat dichter bij de zon de tijd trager gaat. Kan dit bijdragen tot een lagere dx/dt op het moment dat het licht het dichtst bij de zon is?

[Professor Puntje]

Je hebt niet alleen te maken met de "kromming" van de tijd maar ook met die van de ruimte (of beter gezegd van de ruimtetijd) en verder nog met de vertekende weergave van afstanden in het hier gebruikte pseudo-cartesische xy-frame. Dat maakt het heel lastig voorstelbaar wat dx/dt nabij de zon precies zou moeten doen. Daarom benader ik dat probleem ook via wiskundige afleidingen en numerieke programmatuur.

[Professor Puntje]

Onderstaande komt uit Taylor en Wheeler Exploring Black Holes (blz 5-3):

Dat verklaart volgens mij de twee pieken. Op weg naar de zon maar nog ver weg is dx/dt ongeveer gelijk aan de radiale snelheid -dr/dt; bij het passeren van de zon is dx/dt ongeveer gelijk aan de tangentiële snelheid r.dφ/dt; en bij het zich verwijderen van de zon maar al ver weg is dx/dt ongeveer gelijk aan dr/dt. Deze richtingsafhankelijkheid maakt dat de grafiek rondom x=0 (t=0) eventjes ietsjes omhoog moet omdat daar eventjes het regime van de tangentiële snelheid geldt, en die twee overgangen (van radiale snelheid naar tangentiële snelheid en daarna weer terug van tangentiële snelheid naar radiale snelheid) resulteren in de twee piekjes.

[wnvl1]

Wat je eigenlijk interesseert als ik het juist begrijp is, hoe hard de baan weggetrokken wordt naar het centrum van de zon. Als het euclidisch was, zou je dan de kromtestraal berekenen op elk punt wat eenvoudig is met wat je allemaal hebt.

https://nl.wikipedia.org/wiki/Kromtestraal

Via "v^2/kromtestraal", heb je dan in een volgende stap de centripetale versnelling (normaal versnelling) en v de snelheid van het licht. Als het allemaal euclidisch was. Is die v dan c = 3*10^8 km/s?

Ik veronderstel wel dat de centripetale versnelling zijn maximum zal bereiken als het licht het dichtst bij de zon is. De Levi-Civita tensor en scalar in de Einstein vergelijking zijn immers rechtstreeks een maat voor de kromming.

Ik zou wel willen weten in welke mate zo'n berekening zinnig is. Hoe map je het best die gekromde ruimte in dit probleem op een Euclidische ruimte om iets praktisch te kunnen zeggen over de baan vergelijkbaar met wat via de wetten van Keppler kan voor planeten.

[wnvl1]

Vraag is dus eigenlijk meer algemeen is er een referentie waar wordt uitgelegd hoe oplossingen in een gekromde ruimte vertaald worden naar een Euclidische ruimte (ook al kan dat niet perfect). Dat zou veel bijdragen aan het inzicht.

[Professor Puntje]

Ik beschouw het simpelweg als een wiskundige transformatie van de Schwarzschild coördinaten α en r naar de pseudo-cartesische coördinaten x en y volgens:

\(\)

\( x = r \cos(\alpha) \\ y = r \sin(\alpha) \)

\(\)

In dat xy-frame beschrijft het licht ook een baan, en bij die baan hoort een wiskundige vergelijking. Daar wil ik het in dit topic over hebben. En meer in het bijzonder over de pieken die al dan niet optreden. Bij de huidige stand van ons onderzoek ziet het er sterk naar uit dat de grafiek van dx²/dt² als functie van x twee neerwaartse pieken vertoont. Echter voor de grafiek van d(afbuiging)/dx als functie van x levert de aanpak van MathPages iets anders (namelijk twee pieken) op dan de aanpak via de exacte oplossingen voor de lichtbaan (namelijk één piek). Daar is dus nog iets mis.

[Professor Puntje]

Ik veronderstel wel dat de centripetale versnelling zijn maximum zal bereiken als het licht het dichtst bij de zon is. De Levi-Civita tensor en scalar in de Einstein vergelijking zijn immers rechtstreeks een maat voor de kromming.

De Einstein-vergelijking gaat mij op dit moment nog boven de pet, dus behelp ik mij met de schwarzschildmetriek. Dat zou voor dit probleem ook moeten volstaan. Uit de screenshot van Taylor & Wheeler blijkt ook dat twee neerwaartse pieken voor dx²/dt² heel goed mogelijk zijn.

[Professor Puntje]

In de gekromde ruimtetijd wordt de rol van "rechte lijnen" gespeeld door geodeten. Maar is de lijn y=constant (laten we zo'n lijn hier voor het gemak een horizontale lijn noemen) in het pseudo-cartesische xy-frame eigenlijk wel een geodeet? Als een horizontale lijn geen geodeet is, dan bereken je met de afbuiging van licht ten opzichte van een horizontale lijn feitelijk de afbuiging van die horizontale lijn ten opzichte van het licht (en niet omgekeerd). Het licht volgt immers zelf wel een geodeet en daarmee een "rechte lijn". Ten opzichte van de nul-geodeet die het licht zelf volgt buigt het licht zelfs helemaal niet af! En dus vraag ik mij af of de lokale toepassing van Huygens' principe in een pseudo-cartesisch coördinatenstelsel zoals op MathPages en ook hier gepraktiseerd eigenlijk wel klopt...

Wie weet of horizontale lijnen in een xy-frame als hierboven geodeten zijn?

[wnvl1]

Die 'y = 0' of horizontale lijn is in elk geval geen geodeet. In de 'gekromde' ruimte bereken je dus hoeveel die 'y=0' afwijkt van de rechte geodeet. In de 'normale' ruimte bereken je dus hoeveel die kromme geodeet afwijkt van de rechte 'y=0'.

Een link naar een uitleg hoe het principe van Huyghens gebruikt kan/mag worden in een gekromde ruimte zou interessant zijn. Wat mij zoiezo opvalt is dat in de klassieke boeken "Introduction to General Relativity", weinig tot vrijwel niet over het concept hoek wordt gesproken.

ps Bedoelde in een vorig bericht Ricci ipv Levi-Civita.

[Professor Puntje]

Ik heb wel een artikeltje gezien waar Huygens in een pseudo-cartesisch frame wordt toegepast, maar ik heb inmiddels grote twijfels of dat wel legitiem is. Vergelijking van de resultaten van simulaties aan de hand van de exacte oplossingen voor de lichtbaan lijken erop te wijzen dat het bij de toepassing van Huygens' principe in het xy-frame fout gaat, want de baan die daaruit komt wijkt af van de baan die we op grond van de exacte oplossingen vinden terwijl de input die we voor Huygens' principe gebruiken nog wel klopt.

Maar hier is het artikel: https://www.researchgate.net/publicatio ... onal_field

Of anders dit: https://www.relativity.li/en/epstein2/read/i0_en/i2_en

[Professor Puntje]

Hier een vertaling van Einstein's artikel: https://nl.search.yahoo.com/yhs/search? ... uxmint_com

[Professor Puntje]

Ook interessant: https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1929P ... T/abstract

[Professor Puntje]

Wat mij zoiezo opvalt is dat in de klassieke boeken "Introduction to General Relativity", weinig tot vrijwel niet over het concept hoek wordt gesproken.

Dat is een interessant punt, want bij de toepassing van Huygens' principe wordt ervan uitgegaan dat het licht loodrecht op de golffronten voortbeweegt. Maar het is niet gezegd dat hoeken ook in het xy-frame getrouw worden weergegeven. Wat je in het xy-frame eigenlijk berekent is dan ook niet de afbuiging van de lichtbaan maar de afbuiging van de golffronten. Op het perihelium en heel ver weg van de zon staan de golffronten overigens ook in het xy-frame wel (nagenoeg) loodrecht op elkaar. Voor de berekening van de totale afbuiging is er dus geen probleem, maar in het gebied waar de twee pieken gevonden worden zou je als gevolg van een vertekende weergave van hoeken in het xy-frame met Huygens' principe mogelijk lokaal een verkeerde afbuiging in de lichtbaan vinden.

[flappelap]

In de gekromde ruimtetijd wordt de rol van "rechte lijnen" gespeeld door geodeten. Maar is de lijn y=constant (laten we zo'n lijn hier voor het gemak een horizontale lijn noemen) in het pseudo-cartesische xy-frame eigenlijk wel een geodeet? Als een horizontale lijn geen geodeet is, dan bereken je met de afbuiging van licht ten opzichte van een horizontale lijn feitelijk de afbuiging van die horizontale lijn ten opzichte van het licht (en niet omgekeerd). Het licht volgt immers zelf wel een geodeet en daarmee een "rechte lijn". Ten opzichte van de nul-geodeet die het licht zelf volgt buigt het licht zelfs helemaal niet af! En dus vraag ik mij af of de lokale toepassing van Huygens' principe in een pseudo-cartesisch coördinatenstelsel zoals op MathPages en ook hier gepraktiseerd eigenlijk wel klopt...

Wie weet of horizontale lijnen in een xy-frame als hierboven geodeten zijn?

Check of de kromme aan de geodetenvergelijking voldoet. Da's nou een aardige oefening

[flappelap]

Ruimtelijke hoeken bereken je door een foliatie te kiezen en de ruimtelijke componenten van de metriek te gebruiken; die definieert immers het inproduct.