sciencetalk

Juist! Dat maakt een boel duidelijk.

Laat:

l = lengte van de ketting in beweging.

s = lengte van een schakel van de ketting.

λ = lineaire massadichtheid van de ketting.

v = de stationaire snelheid van de ketting.

g = de gravitatieversnelling.

F_A = is de kracht waarmee de ketting uit bakje A wordt getrokken.

R = is de reactiekracht waarmee de ketting uit bakje A wordt geduwd.

Binnen een tijdje Δt wordt een stukje ketting ter lengte v.Δt uit bakje A getrokken, en daarmee op een snelheid v gebracht. De toename in impuls is dan:

Δp = v.Δt . λ . v .

Δp = Δt . λ . v² .

Zodat:

F_A + R = Δp / Δt

F_A + R = λ . v² .

Binnen een tijdje Δt wordt een stukje ketting ter lengte v.Δt uit bakje A op een snelheid v gebracht. De toename in kinetische energie is dan:

ΔE_k = 1/2 . (v.Δt . λ) . v² .

Wanneer we er vanuit gaan dat op dit punt alleen de kracht F_A aan de kinetische energie bijdraagt en dat alleen hier in het toestel noemenswaardige verliezen optreden, dan vinden we:

ΔE_k = η . F_A . (v.Δt) .

Zodat:

1/2 . (v.Δt . λ) . v² = η . F_A . (v.Δt)

1/2 . λ . v² = η . F_A .

Waardoor:

1/2 . ( F_A + R ) = η . F_A .

Laat nu:

μ = R/(F_A + R) .

Dan vinden we:

1/2 . ( F_A + μ/(1-μ).F_A ) = η . F_A

1/2 . (1 + μ/(1-μ)) . F_A = η . F_A

1/2 . 1/(1-μ) = η

η = 1/2 . 1/(1-μ) .

In berichtje #249 hadden we al:

l = 2 . η . d .

Dus komen we tot:

l = 1/(1-μ) . d .

En daarmee kun je voor diverse vormen van het boogje de hoogte uitrekenen.

Bartjes schreef: ↑wo 15 jan 2014, 19:26
Laat nu:

μ = R/(F_A + R) .

In het geval de reactiekracht R nul is, komt er dus: μ = 0.

Dus komen we tot:

l = 1/(1-μ) . d .

En daarmee kun je voor diverse vormen van het boogje de hoogte uitrekenen.

Bij een reactiekracht van nul hebben we derhalve: l = d. Dat houdt in dat er dan geen boogje is. Wanneer er wel een boogje is (en dat is vaak het geval), zal er dus ook een reactiekracht R ongelijk aan nul moeten bestaan.

Bartjes schreef: ↑wo 15 jan 2014, 19:26
Binnen een tijdje Δt wordt een stukje ketting ter lengte v.Δt uit bakje A op een snelheid v gebracht. De toename in kinetische energie is dan:

ΔE_k = 1/2 . (v.Δt . λ) . v² .

Wanneer we er vanuit gaan dat op dit punt alleen de kracht F_A aan de kinetische energie bijdraagt en dat alleen hier in het toestel noemenswaardige verliezen optreden, dan vinden we:

ΔE_k = η . F_A . (v.Δt) .

Van het rood gemaakte zinsdeel ben ik niet geheel zeker: speelt de reactiekracht R daarbij echt geen rol?

Hier is het filmpje bij de verklaring van Biggins en Warner:



Heel mooi uitgelegd!

Bartjes schreef: ↑do 16 jan 2014, 15:48
Hier is het filmpje bij de verklaring van Biggins en Warner:

http://www.youtube.c...h?v=-eEi7fO0_O0

Heel mooi uitgelegd!

Kijk nog eens vanaf 10:30. Bij de bolletjes ontstaat geen boogje, maar waarom? De verklaring zou heel goed kunnen zijn dat de draad met bolletjes niet genoeg snelheid maakt omdat de afzonderlijk bolletjes voortdurend tegen de rand van het glas aan knallen. Met andere woorden de bolletjes zitten te ver van elkaar. Als de bolletjes dichter bij elkaar zitten, komt er mogelijkerwijs wel een boogje. Dat zou dan de door Biggins en Warner gegeven verklaring tegenspreken.

(Deze bedenking heb ik ook al elders op het internet gelezen, maar ik weet niet meer waar.)

Heb er ook mijn twijfels bij.

Die vreemde ketting waarvan de bolletjes wel erg ver uit elkaar zitten, je hoort ze met veel geweld tegen de hoge scherpe rand aantikken.

De macaroni ketting werkt prima, maar heeft een minder hoog bakje en zonder scherpe rand. Bovendien lijkt het dat er een gewichtje vooraan de ketting zit.

Al met al ben ik er nog niet 100% van overtuigd dat dat hoekmoment/hoekstijfheid verhaal de enige oorzaak is.

Wanneer de bolletjes op een afstand van iets meer dan de diameter van de bolletjes met een buigzaam touwtje aan elkaar zitten kan je al zonder problemen een hoek van 180^o maken, dus de bolletjes zitten in het filmpje véél verder uit elkaar dan nodig is. Het verhaal van Biggins en Warner is alleen van toepassing wanneer de verbindingen tussen de bolletjes betrekkelijk stijf zijn, dan kan je een stukje met twee bolletjes min of meer als een staafje beschouwen.

Wat wel van toepassing is dat is hun verhaal over de verliezen die optreden wanneer je een systeem van gekoppelde starre elementen (zoals een ketting) in beweging brengt. Dat geeft een aanwijzing waar in ons systeem noemenswaardige verliezen optreden, namelijk in bakje A. Interessant in dit verband is dat confusie en ik aanvankelijk verschillende waarden vonden voor de kracht F_A waarmee de ketting in bakje A omhoog wordt getrokken:

http://sciencetalk.nl/forum/index.ph ... _p__966024

Jammer genoeg gaat het nog net iets te snel om te kunnen zien hoe de ketting precies in beweging komt. Maar de verklaring van Biggins en Warner lijkt hier toch wel erg gezocht....

Het fenomeen dat er voor zorgt dat de reactiekracht van de tafel de staafjes van de ketting een hoekmoment geeft en zo de staafjes lanceert, werkt ook omgekeerd. Daar waar de staafjes de grond raken wordt de ketting door het hoekmoment naar beneden versneld, wat in dit slow motion filmpje mooi zichtbaar gemaakt is. De linker ketting valt sneller dan de versnelling van de zwaartekracht zodra de tafel geraakt wordt.

@ Michel Uphoff

Of dat effect optreedt hangt af van het type ketting. Die kwestie wordt door Biggins en Warner ook besproken.

Verder zitten we nog steeds met het probleem dat een ketting van bolletjes op een touwtje ook een boogje kan geven. Zou onderstaande schetsje de oplossing bieden?
Het touwtje waarmee het opgetrokken bolletje aan het nog liggende bolletje vast zit zou dan door het plotselinge draaien van het opgetrokken bolletje een extra schuin omhoog gerichte kracht leveren.

Als de verklaring in mijn vorige berichtje klopt zou er geen boogje moeten kunnen ontstaan wanneer de touwtjes tussen de bolletjes in bakje A te slap hangen. Aldus:
Ook zou je met precisie- en slow motion opnamen moeten kunnen zien of het, wanneer er wel een boogje ontstaat, inderdaad zoals in mijn vorige berichtje geschetst werkt.

Daar zou in theorie wat in kunnen zitten denk ik, maar in de praktijk zullen die m.i. bolletjes nooit allemaal dicht bij, of ver van elkaar liggen.

Ik veronderstel dat als dit mechanisme belangrijk is, je een behoorlijk onregelmatig booghoogte zou moeten zien, want die is dan sterk afhankelijk van de willekeurige plaatsing van de bolletjes in het bakje.

@ Michel Uphoff

Doordat het razend snel gaat zal er een middelend effect optreden, maar je ziet de hoogte inderdaad ook variëren. (In het geval van ronddraaiende staafjes zullen deze ook niet altijd keurig op de bodem van het bakje of op een precies er onder liggend staafje slaan en zo teruggekaatst worden.) De touwtjes tussen de bolletjes zijn bij mijn verklaring overigens al snel te lang, en dan komt er geen boogje. Zoveel variatie kan er dus niet zijn.

Wat experimenteren met een bolletjesketting biedt voor langzame bewegingen de onderstaande aanblik:
Als dat er voor snelle bewegingen ook zo aan toe gaat, is mijn eerdere verklaring niet van toepassing.

We kunnen het bead chain fenomeen in het Nederlands beter de kettingfontein noemen. Deze suggestie stond vandaag in de krant (Alledaagse Wetenschaprubriek van Karel Knip in het NRC). Het is de vertaling van de naam die Biggins eraan gaf: chain fountain.