sciencetalk

jkien schreef: ↑za 15 feb 2014, 10:42
We kunnen het bead chain fenomeen in het Nederlands beter de kettingfontein noemen. Deze suggestie stond vandaag in de krant (Alledaagse Wetenschaprubriek van Karel Knip in het NRC). Het is de vertaling van de naam die Biggins eraan gaf: chain fountain.

Mee eens! Wellicht kan de titel van dit topic dan veranderd worden in:

Kettingfontein (Bead Chain Phenomenon)

Op het internet worden er allerlei namen door elkaar gebruikt, wat het zoeken er niet eenvoudiger op maakt. Had dat krantenartikel verder nog iets nieuws te melden?

Wellicht kan de titel van dit topic dan veranderd worden in: Kettingfontein (Bead Chain Phenomenon)

Done

Had dat krantenartikel verder nog iets nieuws te melden?

Nee, hij heeft bij de ijzerwinkel een kogeltjesketting gekocht om thuis mee te spelen maar liep blijkbaar vast in de analyse, zoals iedereen. In de zaterdagkrant blader ik altijd eerst naar zijn rubriek. WSF-topics corresponderen soms met zijn rubriek. Van het topic over de spiegelgevel heeft hij laatst een foto in zijn rubriek geplaatst.

jkien schreef: ↑za 15 feb 2014, 19:17
Nee, hij heeft bij de ijzerwinkel een kogeltjesketting gekocht om thuis mee te spelen maar liep blijkbaar vast in de analyse, zoals iedereen.

Je zou bijna gaan denken dat er iets met de klassieke mechanica mis is....

Ik zag laatst deze Mythbustervideo over een heel ander onderwerp (tafelkleed wegrukken van een gedekte tafel) waarin een koord door een motor wordt weggetrokken van een kluwen (zie video vanaf t=2:51). Het verraste me dat het koord tamelijk verticaal opspringt van de grond, met een spronghoogte die hoger lijkt te zijn dan de motor, terwijl de trekkracht van de motor horizontaal is. Is de sprongrichting en -kracht te berekenen? Heeft dit misschien te maken met de afzet van de kettingfontein?

En daarmee zijn we weer terug bij:

http://www.wetenscha...post__p__965489

Bij het ontstaan van het boogje heb je in principe dezelfde situatie:

http://www.sexyloops....php?f=11&t=766

Daar staat héél veel! Ziet er interessant uit...

Onderstaande video laat zien dat het Mythbusters verschijnsel en de kettingfontein inderdaad hetzelfde verschijnsel zijn:

http://vimeo.com/80662938

Kunnen we de verschijnselen (Mythbusters-boogje en kettingfontein) rechts van de rode lijn als identiek beschouwen?

Gevonden:

Hier nog eentje van Biggins:

http://arxiv.org/abs/1401.5810

En was deze al bekend?

Blijft de vraag waarom er ook voor een flexibele kralenketting (dus met bolvormige schakels) een kettingfontein optreedt. Die kralen kunnen draaien wat ze willen, maar dat levert geen extra opwaartse kracht. Wat wel zou kunnen is dat de ketting niet plotseling loodrecht omhoog gaat, maar dat steeds een paar kralen voordat ze uit de pot getrokken worden al horizontaal beginnen te bewegen. Deze kralen stuiteren daarbij tegen de kralen aan waar ze op liggen, en dat levert een extra opwaartse kracht. Nu nog even inschatten hoe groot die kracht is.

Laat:

s = de lengte van één schakel (kraal met verbindingsstukje) van de ketting.

λ = de lineaire massadichtheid van de ketting.

v = de stationaire snelheid van de ketting.

r = de straal van de kralen.

m = de massa van de kralen.

τ = de tijd waarin er verticaal in de bewegende ketting één schakel passeert.

R = is de reactiekracht waarmee de ketting uit bakje A wordt geduwd.

We nemen aan dat de kralen die op het punt staan uit bakje A omhoog te worden getrokken door het stuiteren tegen de kralen waar zij overheen zijn gegleden gemiddeld al een fractie α van de straal van de kralen r omhoog zijn gekomen.

In het tijdje τ wordt dus een verticale impuls p aan die kralen toegevoegd. Dat is ook de impuls die de vertrekkende kralen vanuit het bakje meekrijgen. Er geldt:

p = m . αr/τ

p = s.λ . αr/τ

p = λ . αr . s/τ

p = λ . α . r/s . s²/τ .

De reactiekracht R die op de vertrekkende kralen wordt uitgeoefend is dan:

R = p/τ .

Zodat:

R = λ . α . r/s . s²/τ²

R = λ . α . r/s . v² .

De Kettingfontein

Het heeft even geduurd, maar hier is dan een eenvoudige berekening die zowel de breedte als de hoogte van het boogje oplevert. Om het de lezer gemakkelijk te maken zal ik niet naar vorige berichtjes terugverwijzen, maar in dit bericht het bewijs van begin tot eind plaatsen. Gezien de voorgeschiedenis durf ik niet te beweren dat dit het laatste woord is. Kritiek blijft zoals altijd welkom.

Hieronder is de kettingfontein nog eens schematisch weergegeven:
We gebruiken de volgende symbolen:

l = de lengte van de ketting in beweging.
= de lineaire massadichtheid van de ketting.

s = de lengte van één schakel (kraal met verbindingsstukje) van de ketting.

r = de straal van de kralen.

m = de massa van de kralen.
= de fractie van r die de kralen in bakje A al omhoog zijn geduwd voordat ze omhoog worden getrokken.

a = de diameter van het ronde bakje A.

v = de stationaire snelheid van de ketting.
= de tijd waarin er verticaal in de bewegende ketting één schakel passeert.

g = de gravitatieversnelling.
= is de kracht waarmee de ketting uit bakje A wordt getrokken.
= is de reactiekracht waarmee de ketting uit bakje A wordt geduwd.
= de inslagkracht van de in bakje B neerkomende ketting.

(De afmetingen d, h, R en H spreken voor zich.)

We nemen aan dat de kralen die op het punt staan uit het bovenste bakje omhoog te worden getrokken door het stuiteren tegen de kralen waar zij overheen zijn gegleden gemiddeld al een fractie α van de straal van de kralen r omhoog zijn gekomen. De vertrekkende kralen krijgen vanuit het bakje A (op grond van de reactiekracht F_r) dus al een beginsnelheid en beginimpuls mee.

We berekenen eerst de krachten F_A , F_r en F_i .
.
.
.

Het bewegende deel van de ketting wordt in stationaire toestand gedragen door dat deel van de normaalkracht op bakje B dat de inslagkracht F_i compenseert en door de reactiekracht F_r in bakje A. Zodat:
.

Op twee plaatsen in de kettingfontein wordt noemenswaardige energie opgestookt: in bakje A en in bakje B. In bakje A wordt het ene deel van de door F_A geleverde energie gestoken in het op snelheid brengen van de ketting, en het andere deel in warmteverliezen, geluid, trillingen in de ketting, etc. De energie die gedurende een tijdje op de laatstgenoemde wijzen in bakje A "verloren gaat", noemen we E_A . In bakje B verliezen de daar aankomende schakels hun volledige kinetische energie. De energie die zo in bakje B gedurende een tijdje wordt opgestookt noemen we E_B. De energie E_A + E_B is gelijk aan de hoeveelheid potentiële energie E_p die de schakels van de ketting gedurende een tijdje kwijt raken. Dus:
.

Combinatie van formules (1) en (2) geeft:
.

Voor de lengte l van de ketting in beweging geldt:
.

Combinatie van formules (3) en (4) levert:
.

In stationaire toestand bevat de kettingfontein een zekere hoeveelheid horizontale impuls die niet meer wordt aangevuld; deze hoeveelheid impuls zal daarom langzaam aan weglekken. Het boogje zal dan smaller worden. Bij de normale wijze van opstarten is het boogje ook al zo smal mogelijk. Wanneer we aannemen dat de ketting neerwaarts naast het bakje A ongeveer evenveel heen en weer zwabbert als bij het opwaartse vertrek in het bakje A, dan zal de ketting wanneer R kleiner is dan de diameter a van bakje A geregeld tegen de buitenkant van bakje A aantikken. Daarbij wordt de horizontale impuls van de ketting dan weer wat aangevuld. De stationaire straal R van het boogje zal daarom gelijk aan de diameter a van het bakje A of net ietsjes groter zijn. We hebben dan:
.

Combinatie van (5) en (6) geeft:
.

En dan is het nu verder aan anderen om na te pluizen of dit klopt....

Bartjes schreef: ↑ma 17 feb 2014, 21:24
We nemen aan dat de kralen die op het punt staan uit het bovenste bakje omhoog te worden getrokken door het stuiteren tegen de kralen waar zij overheen zijn gegleden gemiddeld al een fractie α van de straal van de kralen r omhoog zijn gekomen. De vertrekkende kralen krijgen vanuit het bakje A (op grond van de reactiekracht F_r) dus al een beginsnelheid en beginimpuls mee.

Voor de berekening van α heb ik slow motion videobeelden van het los komen van de ketting in het bovenste bakje nodig. Zo kan het verhaal compleet gemaakt worden. Wat ik op internet aan video's vind gaat allemaal nog te snel. Of zie ik een geschikte video over het hoofd?

Ik heb deze topic al een hele tijd niet meer gevolgd (de wiskunde gaat tóch boven mijn pet, en drukdrukdruk, enfin.... )

maar ik vond dit:

http://www.wired.com/wiredscience/2013/ ... tal-beads/

Niet gecheckt, maar men beweert er de uitleg te hebben.

@ Jan van de Velde

Het topic is inmiddels zó lang geworden dat het ontmoedigend gaat werken.

De link die je geeft beschrijft niet veel meer dan wij hier zelf ook al gevonden hadden. Wat daarin nog ontbreekt is een verklaring van de hoogte (en breedte) van het boogje. De beste verklaring die ik tot nog toe gezien heb is deze:

http://www.youtube.c...h?v=-eEi7fO0_O0

http://arxiv.org/pdf/1310.4056v2.pdf

http://arxiv.org/pdf/1401.5810v1.pdf

Probleem is dat die verklaring alleen voor langwerpige schakels en niet voor ronde kralen werkt. Om mijn verklaring voor een kralenketting te voltooien moet ik weten in hoeverre de kralenketting door het stuiteren over de onderliggende kralen omhoog gestoten wordt. Helaas ziet dat proces er op de video's nogal chaotisch uit, en gaat het bovendien héél snel! Zodra ik daar een mooie schatting voor heb kan ik dat met berichtje #280 combineren, en dan denk ik dat ik er ben.

De Kettingfontein

Het kan nog wat eenvoudiger door uit te gaan van het energetische rendement η waarmee de ketting uit bakje A omhoog getrokken wordt. De berekening van dit rendement is mij helaas nog niet gelukt. Dat is een lastig probleem dat ook los van de kettingfontein te bestuderen is. Wanneer we het rendement echter als gegeven beschouwen kan de kettingfontein verder worden doorgerekend.

Hieronder is de kettingfontein schematisch weergegeven:
We gebruiken de volgende symbolen:

l = de lengte van de ketting in beweging.
= de lineaire massadichtheid van de ketting.

s = de lengte van één schakel (kraal met verbindingsstukje) van de ketting.

r = de straal van de kralen.

m = de massa van de kralen.
= het energetisch rendement waarmee de ketting uit bakje A omhoog getrokken wordt.

a = de diameter van het ronde bakje A.

v = de stationaire snelheid van de ketting.
= de tijd waarin er verticaal in de bewegende ketting één schakel passeert.

g = de gravitatieversnelling.
= is de kracht waarmee de ketting uit bakje A wordt getrokken.
= is de reactiekracht waarmee de ketting uit bakje A wordt geduwd.
= de inslagkracht van de in bakje B neerkomende ketting.

(De afmetingen d, h, R en H spreken voor zich.)

We berekenen eerst de krachten F_A , F_r en F_i .
.
.
.

Het bewegende deel van de ketting wordt in stationaire toestand gedragen door dat deel van de normaalkracht op bakje B dat de inslagkracht F_i compenseert en door dat deel van de normaalkracht op bakje A dat de reactiekracht F_r in bakje A levert. Al deze krachten zijn gemiddeld over de tijd genomen. Zodat:
.

Op twee plaatsen in de kettingfontein wordt noemenswaardige energie opgestookt: in bakje A en in bakje B. In bakje A wordt het ene deel van de door F_A geleverde energie gestoken in het op snelheid brengen van de ketting, en het andere deel in warmteverliezen, geluid, trillingen in de ketting, etc. De energie die gedurende een tijdje op de laatstgenoemde wijzen in bakje A "verloren gaat", noemen we E_A . In bakje B verliezen de daar aankomende schakels hun volledige kinetische energie. De energie die zo in bakje B gedurende een tijdje wordt opgestookt noemen we E_B. De energie E_A + E_B is gelijk aan de hoeveelheid potentiële energie E_p die de schakels van de ketting gedurende een tijdje kwijt raken. Dus:
.

Combinatie van formules (1) en (2) geeft:
.

Voor de lengte l van de ketting in beweging geldt:
.

Combinatie van formules (3) en (4) levert:
In stationaire toestand bevat de kettingfontein een zekere hoeveelheid horizontale impuls die niet meer wordt aangevuld; deze hoeveelheid impuls zal daarom langzaam aan weglekken. Het boogje zal dan smaller worden. Bij de normale wijze van opstarten is het boogje ook al zo smal mogelijk. Wanneer we aannemen dat de ketting neerwaarts naast het bakje A ongeveer evenveel heen en weer zwabbert als bij het opwaartse vertrek in het bakje A, dan zal de ketting wanneer R kleiner is dan de diameter a van bakje A geregeld tegen de buitenkant van bakje A aantikken. Daarbij wordt de horizontale impuls van de ketting dan weer wat aangevuld. De stationaire straal R van het boogje zal daarom gelijk aan de diameter a van het bakje A of net ietsjes groter zijn. We hebben dan:
.

Combinatie van (5) en (6) geeft:
.

Voorstel voor een cruciaal experiment

Bij een kralenketting waarvan de kralen dicht bij elkaar zitten gedragen de kralen zich bij het nemen van een scherpe bocht paarsgewijze min of meer als langwerpige starre schakels doordat zij daarbij tegen elkaar aan duwen. Dat is de reden dat Biggins en Warner hun verklaring van de kettingfontein ook op een kralenketting toepassen. Verder laten zij voor een kralenketting waarbij de kralen ver van elkaar zitten met een proefje zien dat er dan geen boogje optreedt.



Zie 10:27 tot 10:56 .

Probleem met die demonstratie is dat de kralen daar wel erg ver van elkaar zitten, en de ketting voortdurend tegen de rand van de beker aan knalt. Daarom vind ik dat geen overtuigend bewijs. Ik stel het volgende alternatieve experiment voor:

Maak een kralenketting die uit twee even lange delen bestaat waarbij het eerste deel (deel A) kralen bevat die dicht bij elkaar zitten, en het tweede deel (deel B) kralen die net iets meer dan de diameter van een kraal tussenruimte hebben. Start bij het experiment dan met deel A zodat er een keurig boogje ontstaat. Zodra deel A van de ketting de beker uit is, wordt deel B door het laatste stukje van deel A uit de beker getrokken. Deel B begint dus al met een boogje, en het probleem van het botsen tegen de rand van de beker zal niet meer optreden. Als Biggins en Warner gelijk hebben moet het boogje zodra deel B aan de beurt is als een plumpudding in elkaar zakken. Blijft er echter ook bij deel B nog een boogje over, dan is de verklaring van Biggins en Warner onvolledig.