sciencetalk

wat is volgens de ART-formules de kromtestraal (zoals gedefineerd in <a>https://nl.wikipedia...i/Kromtestraal</a> van de ruimtetijd op het aardoppervlak die een versnellling van g geeft.

De formules die je in die Wikipedialink tegenkomt hebben betrekking op een vlakke meetkundige (dus 2-dimensionale) situatie die geheel van de meetkundige situatie van de ruimtetijd verschilt. Wiskundig gezien is de ruimtetijd op te vatten als een vierdimensionale Riemannvariëteit, waarbij de kromming van de ruimtetijd door middel van een zogenaamde krommingstensor wordt vastgelegd. Vanuit wiskundig oogpunt beschouwd is dit een heel stuk ingewikkelder dan de situatie in die Wikipedialink. De (denk)fout die jij lijkt te maken is dat een bepaald begrip uit de vlakke (differentiaal)meetkunde zonder problemen op een meerdimensionale (differentiaal)meetkunde is toe te passen, maar dat is dus niet zo.
 
Wellicht is het een goed idee dat ik hier even schets hoe Einstein uiteindelijk tot zijn vergelijkingen kwam. Toen Einstein in 1911 hoogleraar theoretische natuurkunde in Praag werd kreeeg hij van wiskundige Georg Pick het advies om gebruik te maken van wat men toen nog absolute differentiaalrekening noemde en wat we nu, sinds Einstein het ging gebruiken, tensorrekening noemen. Toen Einstein in 1912 in Zürich terugkeerde vroeg hij wiskundige Marcel Grossmann, zijn vroegere medestudent, om hulp bij het ontwikkelen van zijn algemene relativiteitstheorie. Grossmann maakte Einstein toen vertrouwd met de vierdimensionale Riemannmeetkunde, waarmee hij Einstein de wiskundige basis voor het ontwikkelen van zijn algemene relativiteitstheorie verschafte. 2 jaar later vertrok Einstein naar Berlijn om daar deel uit te maken van de beroemde Preussische Akademie der Wissenschaften. Omdat Einstein zich meer door natuurkundige argumenten liet leiden realiseerde hij zich niet dat de vergelijkingen die hij uitwerkte in eerste instantie niet klopten. Pas toen hij zorgvuldig naging hoe een en ander wiskundig gezien op de juiste manier in elkaar paste wist hij in de loop van november 1915 de juiste vergelijkingen op te stellen. Toen hij daarmee de afwijking in de baan van Mercurius bepaalde vond hij hetzelfde resultaat wat 19e-eeuwse astronomen hadden waargenomen, namelijk een periheliumverschuiving van 43 boogseconden per eeuw. Dit was voor hem het bewijs dat hij de juiste vergelijkingen had gevonden. In januari 1916 verscheen zijn algemene relativiteitstheorie als Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie in de nu nog steeds bestaande Annalen der Physik.

mathfreak schreef: De formules die je in die Wikipedialink tegenkomt hebben betrekking op een vlakke meetkundige (dus 2-dimensionale) situatie die geheel van de meetkundige situatie van de ruimtetijd verschilt. Wiskundig gezien is de ruimtetijd op te vatten als een vierdimensionale Riemannvariëteit, waarbij de kromming van de ruimtetijd door middel van een zogenaamde krommingstensor wordt vastgelegd. Vanuit wiskundig oogpunt beschouwd is dit een heel stuk ingewikkelder dan de situatie in die Wikipedialink. De (denk)fout die jij lijkt te maken is dat een bepaald begrip uit de vlakke (differentiaal)meetkunde zonder problemen op een meerdimensionale (differentiaal)meetkunde is toe te passen, maar dat is dus niet zo.

als je ipv de kromming van de ruimtetijd de vraag anders stelt: wat is de kromtecirkel van de baan die het licht heeft zoals je die meet vanaf aarde van een lichtstraal die langs het aardoppervlak scheert? Is de situatie dan wel eenduidig in een getal uit te drukken?

hier vond ik nog een interessant artikel
http://math.ucr.edu/home/baez/einstein/einstein.pdf
 
in het byzonder dit stukje:
 
'Suppose two people stand side-by-side on the equator and start walking north, both following geodesics. Though they start out walking parallel 3 to each other, the distance between them will gradually start to shrink, until finally they bump into each other at the north pole. If they didn’t understand the curved geometry of the sphere, they might think a ‘force’ was pulling them together. Similarly, in general relativity gravity is not really a ‘force’, but just a manifestation of the curvature of spacetime.' 
 
hier wordt dus het effect van een stukje niet homogeen zwaartekrachtsveld vertaald naar een vanuit de deeltjs gezien 'geheimzinnige aantrekkingskracht' tussen die deeltjes en die aantrekkingskracht wordt dan in de ART vertaald als 'kromming' net zoals de vallende lift kromming geeft door de aantrekkingskracht tgv de zwaartekracht te vervangen door een versnelling van een vrij vallende lift en daardoor buiging van het licht.
Nu begrijp ik dus dat je ook nog een component van die buiging krijgt tgv een niet homogeen zwaartekrachtsveld omdat dat op dezelfde manier zorgt voor elkaar 'schijnbaar' aantrekkende liften als die in vrije val zijn in het zwaartekrachtsveld van de aarde.  en dat geldt dan dus ook voor licht wat daardoor naar elkaar toebuigt bij 2 evenwijdige bundels licht. 
Dit is het soort verklaring waar ik naar op zoek ben. 
 
ps zie trouwens ook #256, maar dit vult dus echt de redenatie hierachter aan voor mij

Dat geeft je een meetkundige interpretatie van de veldvergelijkingen. De Einsteintensor (de linkerkant van de Einsteinvergelijkingen) vertelt je ruwweg hoe het volume van een verzameling vrijvallende deeltjes verandert.

Dus als je vrije deeltjes in een zwaartekrachtsveld loslaat die aanvankelijk een boloppervlak vormen, dan vertelt de Einsteintensor je hoe deze vorm verandert. Als de Einsteintensor nul is, zoals in het vacuüm van de Schwarzschildoplossing die jij probeert te begrijpen, dan verandert dit volume van deeltjes dus niet. Maar dat betekent niet dat er niks gebeurt: er kunnen getijdekrachten optreden. Sommige deeltjes kunnen naar elkaar toe bewegen terwijl anderen van elkaar af bewegen, zodat het opgespannen volume gelijk blijft. Een 2-dimensionaal analogon hiervan is een ellips met assen a en b, waarvan het oppervlak wordt gegeven door \(\pi \times a \times b\): als je a X keer zo kort maakt en b X keer zo lang rek je de ellips uit, maar het oppervlak blijft hetzelfde. Dit uitrekken is precies wat de getijdekrachten doen.

Dat artikel van Baez ken ik, en vertaalt bovenstaande in wiskundige formules.

Ik wil verzoeken met deze discussie te stoppen, want het leidt niet meer ergens toe.
@HansH: mijn ervaring, ook bij andere buitenlandse sites, is dat de deskundigen vooral wiskundige interesse en minder natuurkundig. Vragen over wat die wiskunde fysisch betekent kunnen ze niet beantwoorden en  worden dan boos. Vereenvoudiging tot simpele (maar beperkte) situaties interresseert hen niet. Het is alles of niets. Misschien hebben ze daar ook wel gelijk in, dat weet ik niet, maar waar geen interresse is kun je ook geen antwoorden verwachten. Ik ben net als jij electronicus en ben altijd gewend geweest de uitkomst van wiskundige berekeningen door benaderingen te controleren of ze de juiste verwachte fysische uitkomst geven. Bij de ART is dat niet gebruikelijk.
 
@flappelap: jij bent waarschijnlijk de meest deskundige ART-wiskundige hier, dus daar staat nog de vraag van #1 open: wat is volgens de ART-formules de kromtestraal (zoals gedefineerd in https://nl.wikipedia.org/wiki/Kromtestraal)van de ruimtetijd op het aardoppervlak die een versnellling van g geeft.

De kromtestraal zoals die daar gedefiniëerd wordt van een lijn is een mate van extrinsieke (!) kromming. Je embed de lijn (een 1-dimensionale variëiteit) in een 2-dimensionale vlakke ruimte zodat je de kromming van de lijn kunt beschrijven. De kromming van de ruimtetijd in de ART is echter intrinsiek (!). Je maakt geen gebruik van een embedding in een hoger dimensionale variëteit.

De intrinsieke kromming van jouw lijn zou overigens 0 zijn, omdat parallel transport van vectoren op een 1-dimensionale variëiteit geen variatie in de richting van die vectoren kan geven; de Riemann tensor is triviaal 0. En dat is tenslotte hoe je intrinsieke kromming definieert.
Ik kan dus geen antwoord op jouw vraag geven omdat deze volgens mij niet gedefinieerd is binnen de ART; daarvoor zou je de ruimtetijd moeten embedden in een hogerdimensionale ruimtetijd. Als je dat niet begrijpt, dan kun je opzoeken wat het verschil is tussen intrinsieke kromming (geen embedding) en extrinsieke kromming (wel embedding).

De formules die je in die Wikipedialink tegenkomt hebben betrekking op een vlakke meetkundige (dus 2-dimensionale) situatie die geheel van de meetkundige situatie van de ruimtetijd verschilt. Wiskundig gezien is de ruimtetijd op te vatten als een vierdimensionale Riemannvariëteit, waarbij de kromming van de ruimtetijd door middel van een zogenaamde krommingstensor wordt vastgelegd. Vanuit wiskundig oogpunt beschouwd is dit een heel stuk ingewikkelder dan de situatie in die Wikipedialink. De (denk)fout die jij lijkt te maken is dat een bepaald begrip uit de vlakke (differentiaal)meetkunde zonder problemen op een meerdimensionale (differentiaal)meetkunde is toe te passen, maar dat is dus niet zo.
 
Wellicht is het een goed idee dat ik hier even schets hoe Einstein uiteindelijk tot zijn vergelijkingen kwam. Toen Einstein in 1911 hoogleraar theoretische natuurkunde in Praag werd kreeeg hij van wiskundige Georg Pick het advies om gebruik te maken van wat men toen nog absolute differentiaalrekening noemde en wat we nu, sinds Einstein het ging gebruiken, tensorrekening noemen. Toen Einstein in 1912 in Zürich terugkeerde vroeg hij wiskundige Marcel Grossmann, zijn vroegere medestudent, om hulp bij het ontwikkelen van zijn algemene relativiteitstheorie. Grossmann maakte Einstein toen vertrouwd met de vierdimensionale Riemannmeetkunde, waarmee hij Einstein de wiskundige basis voor het ontwikkelen van zijn algemene relativiteitstheorie verschafte. 2 jaar later vertrok Einstein naar Berlijn om daar deel uit te maken van de beroemde Preussische Akademie der Wissenschaften. Omdat Einstein zich meer door natuurkundige argumenten liet leiden realiseerde hij zich niet dat de vergelijkingen die hij uitwerkte in eerste instantie niet klopten. Pas toen hij zorgvuldig naging hoe een en ander wiskundig gezien op de juiste manier in elkaar paste wist hij in de loop van november 1915 de juiste vergelijkingen op te stellen. Toen hij daarmee de afwijking in de baan van Mercurius bepaalde vond hij hetzelfde resultaat wat 19e-eeuwse astronomen hadden waargenomen, namelijk een periheliumverschuiving van 43 boogseconden per eeuw. Dit was voor hem het bewijs dat hij de juiste vergelijkingen had gevonden. In januari 1916 verscheen zijn algemene relativiteitstheorie als Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie in de nu nog steeds bestaande Annalen der Physik.

Eén vorm van de vergelijkingen die Einstein aanvankelijk voorstelde, was
maar deze voldoet niet aan covariant energiebehoud. Zijn juiste vergelijkingen
doen dat wel vanwege de Bianchi identiteiten. Maar mij lijkt dat beide vergelijkingen dezelfde precessie voor Mercurius voorspellen, aangezien de bijbehorende vacuümvergelijkingen in beide gevallen
zijn. Ik weet niet hoe het historisch allemaal precies is gegaan, maar als Einstein de verkeerde vergelijkingen (mijn eerste vgl) had gebruikt, dan had hij grappig genoeg volgens mij toch de juiste hoeveelheid precessie voorspeld. Maar de Newtonse limiet zal niet juist zijn. Hoe dat precies te rijmen is, zou ik even moeten nagaan

flappelap schreef: De kromtestraal zoals die daar gedefiniëerd wordt van een lijn is een mate van extrinsieke (!) kromming. 

 

maar nog steeds geen antwoord op de vraag.

flappelap schreef: Dat geeft je een meetkundige interpretatie van de veldvergelijkingen. 

maar draagt dit effect ook bij aan de extra afbuiging van het licht bv om de zon (1.73 ipv 0.84 boogseconden)? 

maar nog steeds geen antwoord op de vraag.

maar draagt dit effect ook bij aan de extra afbuiging van het licht bv om de zon (1.73 ipv 0.84 boogseconden)?

Welke vraag? Ik geef toch aan dat zijn vraag niet gedefiniëerd is omdat de ART met een andere notie van kromming werkt?

En welk effect? Die ruimtelijke kromming wordt van je geëist door de Einsteinvergelijkingen, en dat is volgens mij hoe Einstein het oorspronkelijk afleidde (wat jij volgens mij overigens eerder ook vroeg). En ja, die term draagt bij aan de extra afbuiging. Ik zie verder niet in hoe je met lokale argumenten een globale oplossing kunt afleiden, maar wellicht dat iemand anders dat wel weet.

En ik heb ook het idee dat hier langs elkaar heen wordt gepraat en alles zo ongeveer wel gezegd is, dus ik hou er voorlopig even mee op.

flappelap schreef: Welke vraag? Ik geef toch aan dat zijn vraag niet gedefiniëerd is omdat de ART met een andere notie van kromming werkt?

Ex- of intrinsiek maakt voor de vraag niet uit: wij zien een foton een kromme baan volgen en wij zien een appel vallen doordat het een kromme baan in de tijd volgt. De vraag is hoe groot de kromtestraal is van die voor ons zichtbare kromming.

Ex- of intrinsiek maakt voor de vraag niet uit: wij zien een foton een kromme baan volgen en wij zien een appel vallen doordat het een kromme baan in de tijd volgt. De vraag is hoe groot de kromtestraal is van die voor ons zichtbare kromming.

Jawel, dat maakt wel uit, want het is daardoor niet duidelijk of jij op zoek bent naar de kromming van een geodeet (de kromtestraal van een geodeet zoals een ellipsbaan zal natuurlijk afhangen van waar je de massa loslaat) of van het analogon van jouw wikilink voor de ruimtetijd.

Ik vermoed dat jij op zoek bent naar de kromtestraal van een geodeet in de ruimtetijd zoals die van de aarde (zeg, een Schwarzschild-oplossing). Welnu, als ik een massa loslaat boven het aardoppervlak dan zal deze recht naar het massamiddelpunt toevallen in een rechte lijn, en is de kromtestraal dus oneindig groot. Als ik deze zelfde massa met een hoge beginsnelheid schuin van het aardoppervlak af gooi, dan zal deze massa een ellipsbaan rond de aarde gaan afleggen met een kromtestraal die afhangt van de beginsnelheid.

Er is dus niet zoiets als "de" kromtestraal van een ruimtetijd zoals jij je die voorstelt, net zoals er niet "de kromtestraal" bestaat voor gekromde lijnen in een plat vlak. Ik snap je vraag dus niet, en een beter antwoord dan dit kan ik je niet geven.

flappelap schreef: Jawel, dat maakt wel uit, want het is daardoor niet duidelijk of jij op zoek bent naar de kromming van een geodeet (de kromtestraal van een geodeet zoals een ellipsbaan zal natuurlijk afhangen van waar je de massa loslaat) of van het analogon van jouw wikilink voor de ruimtetijd.

Van het analogon natuurlijk. Want daarin is de vertikale beweging van een vallende appel het gevolg van een kromme baan in de (voor ons onzichtbare) tijdas.
Of de kromming van de baan van een foton die de aarde scheert, want dat is dezelfde kromming maar nu in de ruimte-assen.

Ok, dan heb ik antwoord op je vraag gegeven: dat analogon bestaat niet, omdat een kromtestraal een extrinsieke kromming weergeeft en afhangt van een embedding, en die heb je niet voor de ruimtetijd.

Wat jij probeert te doen is de kromming van de ruimtetijd samen te vatten in 1 parameter (de "kromtestraal"), maar in de ART gebruik je daar de Riemanntensor voor, die in de ART 20 componenten heeft (of, voor de Einsteinvergelijkingen, de Riccitensor met 10 componenten).

Dus nogmaals, je vraag is niet goed gedefiniëerd.
Het enige dat ik je dus kan aanraden om eens te kijken hoe het begrip "kromming" wordt gedefinieerd in de ART. Dat eerder genoemde artikel van Baez zou je b.v. kunnen gebruiken, of de wikilink

https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_curvature_tensor

(zie b.v. bij "informally")

Toch lukt het de ART wel bij het berekenen van de afbuiging van fotonen door een grote massa, zoals de zon. Dat is een integratie van alle kleine hoekbuigingen van de kromming tijdens het passeren van de massa. 2D ruimte, niets meer.

In dit geval komt dat omdat de geodetenvergelijking voor de Schwarzschildoplossing impliceert dat impulsmoment van het deeltje behouden is en de geodeten zich dus beperken tot een vlak. Dit geldt overigens ook voor de banen zoals voorspeld door Newtons zwaartekrachtswet.

Maakt niet uit hoe je het berekent, je kan de afbuiging berekenen op ieder punt van de baan en daaruit dus een kromtestraal. Voor dit topic op het moment dat het foton langs het aardoppervlak scheert.

flappelap schreef: Welke vraag? Ik geef toch aan dat zijn vraag niet gedefiniëerd is omdat de ART met een andere notie van kromming werkt?

En welk effect? Die ruimtelijke kromming wordt van je geëist door de Einsteinvergelijkingen, en dat is volgens mij hoe Einstein het oorspronkelijk afleidde (wat jij volgens mij overigens eerder ook vroeg). En ja, die term draagt bij aan de extra afbuiging. Ik zie verder niet in hoe je met lokale argumenten een globale oplossing kunt afleiden, maar wellicht dat iemand anders dat wel weet.

En ik heb ook het idee dat hier langs elkaar heen wordt gepraat en alles zo ongeveer wel gezegd is, dus ik hou er voorlopig even mee op.

Welke vraag, zie #287: (ik voelde hem al aankomen, dat is denk ik ook wat dparlevliet met de oorspronkelijke vraag bedoelde)
als je ipv de kromming van de ruimtetijd de vraag anders stelt: wat is de kromtecirkel van de baan die het licht heeft zoals je die meet vanaf aarde van een lichtstraal die langs het aardoppervlak scheert? Is de situatie dan wel eenduidig in een getal uit te drukken?
 
En welk effect?
zie #282: het effect van een stukje niet homogeen zwaartekrachtsveld vertaald naar een vanuit de deeltjs gezien 'geheimzinnige aantrekkingskracht' tussen die deeltjes en die aantrekkingskracht wordt dan in de ART vertaald als 'kromming' net zoals de vallende lift kromming geeft door de aantrekkingskracht tgv de zwaartekracht te vervangen door een versnelling van een vrij vallende lift en daardoor buiging van het licht.

flappelap schreef: Welke vraag? welk effect, En ik heb ook het idee dat hier langs elkaar heen wordt gepraat 

ik heb ook het idee dat soms niet goed wordt gelezen of men zich niet verplaatst in degene die iets opmerkt en waarom diegene dat zou kunnen opmerken. Daarmee begint de samenwerking om tot vooruitgang te komen immers.
 
ps, oh ja, en accepteren dat niet iedereen op hetzelfde kennisnivo zit of kan zitten en dat ook respecteren hoort daar ook bij. Het is dan meer de taak van degene met de meeste kennis om die kennis naar het nivo te vertalen van de lezer.