Ik zou graag deze berekening wat vollediger willen doen in een eigen set aantekeningen, maar gezien een baby en een schooljaar dat in alle hevigheid is losgebarsten kom ik daar niet aan toe. Ik zal daarom alleen wat toelichting geven bij
https://www.mathpages.com/rr/s8-09/8-09.htm
zonder alle berekeningen na te zijn gegaan. Ik heb er echter alle vertrouwen in dat deze kloppen.
Dus wat doen we: we willen weten hoe een lichtstraal wordt afgebogen in een Schwarzschild-ruimtetijd. Laten we eerst kijken hoe een lichtstraal zich gedraagt in Minkowski ruimtetijd. Zo'n lichtstraal legt een zogenaamde null-curve af, in Cartesische coördinaten (!) gegeven door:
\(
ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 = 0
\)
De metriek componenten (van de Minkowskimetriek) kun je aflezen met de definitie
\(
ds^2 = g_{tt}dt^2 + g_{xx}dx^2 + g_{yy}dy^2 + g_{zz}dz^2
\)
In de vlakke ruimtetijd beschrijven de resulterende curves de gebruikelijke lichtkegels. Dit kun je nagaan door de coördinatensnelheid uit te rekenen. Stel, we nemen een lichtstraal in de x-richting, zodat dy=dz=0, dan
\(
ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 = 0 \rightarrow cdt = \pm dx \rightarrow \frac{dx}{dt} = \pm c
\)
Dit zijn precies de inkomende (-) en uitgaande (+) lichtstralen. Merk op voor uitgaande stralen:
\(
c = \sqrt{-\frac{g_{tt}}{g_{xx}}}
\)
De lichtsnelheid is keurig overal gelijk aan de constante c, zoals we gewend zijn voor vlakke ruimtetijden. Nu gaan we exact hetzelfde doen met de Schwarzschild-ruimtetijd, die een bolsymmetrische massa M beschrijft. Het ruimtetijd interval wordt in bolcoördinaten (!) dan
\(
ds^2 = -(1-\frac{2GM}{r c^2})c^2 dt^2 + (1-\frac{2GM}{r c^2})^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2
\)
waarbij het laatste stuk met Omega domweg het hoekgedeelte is; daar gaan wij ons wat minder om bekommeren. We kunnen dit interval ook schrijven in termen van de metriekcomponenten die je daarmee kunt aflezen:
\(
ds^2 = g_{tt} dt^2 + g_{rr} dr^2 + g_{\theta\theta}d\theta^2 + g_{\phi\phi}d\phi^2
\)
Als je nu lichtstralen bekijkt die in radiële richting bewegen, dus met constante hoeken phi en theta, dan worden die, analoog aan hierboven, beschreven door null-curves
\(
ds^2 = -(1-\frac{2GM}{r c^2})c^2 dt^2 + (1-\frac{2GM}{r c^2})^{-1} dr^2 = 0 \rightarrow (1-\frac{2GM}{r c^2})c^2 dt^2 = (1-\frac{2GM}{r c^2})^{-1} dr^2
\)
De coördinatensnelheid dr/dt van deze lichtstraal kun je hieruit oplossen:
\(
\frac{dr}{dt} = \pm (1-\frac{2GM}{r c^2}) c
\)
Deze coordinatensnelheid kun je c(r) noemen: de lichtsnelheid op afstand r van de oorsprong, zoals gemeten door een buitenstaander. Laten we even uitgaande lichtstralen nemen, dus het plus-teken. Dan kunnen we deze c(r) ook domweg schrijven als de verhouding tussen de metriek componenten
\(
\frac{dr}{dt} = \sqrt{-\frac{g_{tt}}{g_{rr}}}
\)
Je ziet dat als r de Schwarzschildstraal nadert, deze coördinatensnelheid voor de lichtstraal naar nul gaat. Dat is het beroemde statement dat een buitenstaander meet dat "de lichtsnelheid nul wordt op de waarnemershorizon". Wij passen de oplossing echter niet toe op zwarte gaten, maar op de zon; de straal van de zon is veel groter dan zijn schwarzschildstraal, dus onze oplossing is alleen geldig voor waarden van r groter dan de straal van de zon.
Vervolgens beschouwt het artikel een lichtstraal die langs de zon scheert, zoals in de figuur ("as depicted in the figure below".). Wij hebben dan de coördinatensnelheid van de lichtstraal uitgerekend als dr/dt, maar de lichtstraal in onze berekening beweegt zich nu in het {xy}-vlak (z=0). Daarvoor moeten we een nare berekening doen (die ik ooit heb gedaan, en niet nog es ga doen): we moeten de tensorcomponenten van de Schwarzschildmetriek in bolcoördinaten omrekenen naar die Cartesische coördinaten. Wel, de berekening geeft het antwoord in formule (2). In het bijzonder kun je het volgende uitrekenen (dit is simpelweg de transformatiewet voor tensoren):
\(
g_{xx} = \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial r}{\partial x} g_{rr} + \frac{\partial \theta}{\partial x} \frac{\partial \theta}{\partial x} g_{\theta\theta} + \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial x} g_{\phi\phi}
\)
Het resultaat daarvan is blijkbaar te schrijven als de formule die volgt op "with varying spatial coefficients. In particular, we have". Aangezien je voor de berekening middels Huygens principe de snelheid
\(
c(x) = \frac{dx}{dt} = \sqrt{-\frac{g_{tt}}{g_{xx}}}
\)
nodig hebt (die de auteur c(r) noemt, maar hey, r(x) is immers weer een functie van x), wordt het resultaat de formule na "Therefore, the speed of light (along this path) is actually given by..." waarbij er nog een Taylor benadering wordt gemaakt. Dat is volledig terecht: de Schwarzschildstraal van de zon is immers zo'n 3 km, terwijl de daadwerkelijke straal zo'n 700.000 km is, dus
\(
\frac{2GM}{r c^2} \approx 4 \times 10^{-6}
\)
Daarna wordt het principe van Huygens toegepast, maar daar ging het verder volgens mij niet om.
