Orde van lipschitz continuïteit

[yoralin]

Volgens mij is 't niet waar (tegenvoorbeeld van hierboven).

Een (noodzakelijkerwijze foutief) bewijs start bvb. met een redenering

Zij f_n een rij orde-b- (en dus ook -a) functies die een limiet f heeft, waarbij f een orde-a-Lipschitz-functie is.

We moeten aantonen dat f een orde-b-Lipschitz-functie is, zeg |f(x)-f(y)| < A|x-y|^b voor alle .....

Fixeer x en y.

|f(x) - f(y)| <= |f_n(x) - f(x)| + |f_n(y) - f(y)| + |f_n(x) - f_n(y)|.

De eerste twee termen in het rechterlid zijn kleiner dan |f_n-f|_oo en dus <= epsilon(*|x-y|^b) voor n voldoende groot.

De laatste term is kleiner dan K_n|x-y|^b, waarbij K_n van n afhangt.

(...en dan zat ik even vast. Bij 't tegenvoorbeeld is de rij van die K_n's niet begrensd.)

Dat f een orde-a-Lipschitz-functie is had ik (nog) niet gebruikt : |f_n(x) - f_n(y)| kan ik afschatten door C|x-y|^a

= C|x-y|^(a-b)|x-y|^b, neem K= C|x-y|^(a-b).

A moet onafhankelijk zijn van x en y, maar A = max_{x=/y} C|x-y|^(a-b) nemen kan niet (is oneindig).

[PeterPan]

Dat de deelruimte niet gesloten is, is duidelijk (zelf zonder bewijs).

Ik beweer ook nergens het tegendeel.

@dirkwb

Stel het is waar (dus deelruimte is gesloten), dan moet je aantonen dat als

\(f_1,f_2,\cdots\)

een rij functies is met die uniform convergeert naar

\(f\)

en

alle genoemde functies zijn b-Lipschitz functies en

\(f_1,f_2,\cdots\)

zijn bovendien a-Lipschitz,

dan is ook

\(f\)

a-Lipschitz.

yoralin geeft een voorbeeld waaruit blijkt dat de deelruimte niet gesloten is.

[yoralin]

OK, nu zitten we weer op dezelfde golflengte.

2. Is the set of all Lipschitz functions of order b a closed subspace of those of order a?

mijn reactie : "zo ja, bewijs; zoniet, geef een tegenvoorbeeld"

Het bewijs is eenvoudig, maar verloopt heel anders.

mijn reactie : hoezo : "het bewijs" ? Wat is er met mijn tegenvoorbeeld fout ?

Dat de deelruimte niet gesloten is, is duidelijk (zelf zonder bewijs).

Ik beweer ook nergens het tegendeel.

Met de vorige quote was ik toch in de war geraakt.

@dirkwb

Stel het is waar (dus deelruimte is gesloten), dan moet je aantonen dat als

\(f_1,f_2,\cdots\)

een rij functies is met die uniform convergeert naar een a-Lipschitz functie

\(f\)

en

alle genoemde functies zijn b-Lipschitz functies (

\(f_1,f_2,\cdots\)

zijn automatisch a-Lipschitz, dat was deel 1 van de vraag[/color]),

dan is ook

\(f\)

b-Lipschitz.

[PeterPan]

mijn reactie : hoezo : "het bewijs" ? Wat is er met mijn tegenvoorbeeld fout ?

Andere topologie, andere gesloten verzamelingen, ander bewijs.

Voorbeeld, stel we hanteren de indiscrete topologie. Dan is het bewijs bijzonder simpel, want de deelruimte is niet leeg en niet de verzameling van alle functies, dus de deelruimte is niet gesloten.

Waarom je de formulering van de stelling (wanneer is de deelverzameling gesloten) nog eens overdoet is mij een raadsel.