Er is uiteraard al het nodige correcte over de vraag van TS gezegd, maar omdat ik me verveelde heb ik het maar even volledig uitgewerkt voor de geïnteresseerde passant
.
Met de aanname dat de aarde een bol is met constante dichtheid, volgt uit
Gauss' law for gravity het volgende (zie voor meer informatie
deze Wikipedia pagina):
\(g(r)=\frac{4\pi }{3}G\rho r\)
Met:
g = gravitational acceleration die wordt ondervonden door de bungeejumper (circa 9.8 ms
-2 op het aardoppervlak)
G = gravitational constant (
ongeveer 6.674e-11 m3kg-1s-2)
ρ = de gemiddelde dichtheid van de bol / aarde (
zo'n 5515 kgm-3)
r = de afstand van het middelpunt van de aarde tot het punt van interesse (de bungeejumper)
We kunnen dus schrijven:
\(a(t)=\frac{4\pi }{3}G\rho r(t)\)
Waarin
a de versnelling van de bungeejumper is t.o.v. de aarde.
Voor de versnelling geldt in het algemeen:
\(a(t)=\frac{d^{2}x(t)}{dt^{2}}\)
- Bungee 228 keer bekeken
Dus kunnen we nu ook schrijven:
\(\frac{d^{2}x(t)}{dt^{2}}=\frac{4\pi }{3}G\rho r(t)\)
Het is verstandig om voor de vervolgberekening een nieuwe term te introduceren:
\(\alpha =\frac{4\pi }{3}G\rho\)
Omdat
r de afstand van het middelpunt van de aarde tot de bungeejumper is, kunnen we schrijven:
\(r(t)=r_{0}-x(t)=6371\cdot 10^{3}-x(t)\)
.
Te zien is dat de acceleratie negatief zal zijn voor x>6371km. Dat klopt, omdat in dit geval de bungeejumper zal worden afgeremd door de zwaartekracht van de aarde.
Deze differentiaalvergelijking is op meerdere manieren op te lossen, één manier is m.b.v.
Laplacetransformaties. Met de initiële condities: x(0) = x'(0) = 0 (we beginnen de val vanuit stilstand, m.a.w. op t = 0 hebben we nog geen afstand afgelegd en hebben we nog geen snelheid t.o.v. de aarde), wordt verkregen:
\(X(s)=\frac{6371\alpha }{s(s^{2}+\alpha )}\)
Gebruikmakend van "
partial fraction expansion" kunnen we dit schrijven als:
\(X(s)=\frac{r_{0}}{s}-\frac{r_{0}s}{s^{2}+\alpha }\)
Aan de hand van eerder gegeven Laplacetabel verkrijgen we uiteindelijk:
\(x(t)=r_{0}(1-cos(\sqrt{\alpha}t))=r_{0}(1-cos\left (\sqrt{\frac{4\pi }{3}G\rho}\cdot t \right )\)
Nemen we de afgeleide naar de tijd, dan verkrijgen we de snelheid van de bungeejumper als functie van de tijd:
\(x'(t)=v(t)=r_{0}\cdot\sqrt{\frac{4\pi }{3}G\rho} \cdot sin\left (\sqrt{\frac{4\pi }{3}G\rho}\cdot t \right )\)
En opnieuw, voor de acceleratie van de bungeejumper:
\(x''(t)=v'(t)=a(t)=r_{0}\cdot\frac{4\pi }{3}G\rho \cdot cos\left (\sqrt{\frac{4\pi }{3}G\rho} \cdot t\right )\)
De verkregen functies kunnen nu, na het invullen van de verschillende waarden, geplot worden:
- Bungeejump 228 keer bekeken
Een retourtje naar de andere kant van de wereld duurt op deze manier dus nog geen anderhalf uur
.