sciencetalk

Hoe kom je daarbij? Een getal a is van orde b, als

\(a^b\)

= 1 én

\(a^{b - 1} \neq 1\)

. Wat je wél zeker weet, is dat je moet gaan kijken tussen die 96 elementen (je eenheden). Waarom?

Omdat die andere (175-96) geen inverse hebben toch?

Maar zou je dan echt die 96 elementen er uit moeten gaan zoeken?

Er zal toch wel een systematischere manier zijn om dit op te lossen lijkt me?

Jaimy11 schreef:Maar zou je dan echt die 96 elementen er uit moeten gaan zoeken?

Er zal toch wel een systematischere manier zijn om dit op te lossen lijkt me?

Uiteraard moet je die niet met de hand gaan zoeken . Je zou nogal werk hebben! Nee, ik gaf je gewoon aan waar (en hoeveel elementen daar zijn) je moet gaan zoeken.

Goed, we weten, uit al het bovengaande, dus al dat (Z_n)^x, * een groep vormt (want product van 2 eenheden is weer een eenheid). Nu moet jij in je kennis graven, welke stellingen je kent die je hier (zouden) kunnen helpen.

Drieske schreef:Uiteraard moet je die niet met de hand gaan zoeken . Je zou nogal werk hebben! Nee, ik gaf je gewoon aan waar (en hoeveel elementen daar zijn) je moet gaan zoeken.

Goed, we weten, uit al het bovengaande, dus al dat (Z_n)^x, * een groep vormt (want product van 2 eenheden is weer een eenheid). Nu moet jij in je kennis graven, welke stellingen je kent die je hier (zouden) kunnen helpen.

Die moet je dan van me te goed houden.

Ik ben nu thuis en heb mijn boeken op de kamer liggen.

En omdat ik de komende week tentamens heb weet ik nog niet wanneer ik tijd heb om de stellingen op te zoeken en gebruiken e.d.

Dus is het goed als ik hier later op terug kom?

Dus is het goed als ik hier later op terug kom?

Voor mij is dat prima . Ik zou het je nu kunnen voorkauwen, maar daar heb je minder aan dan het later eens bekijken! Je begrijpt nu alvast de eenheden beter, dus dat is al dat .

Het heeft even geduurd, maar alsnog:

Wat ik vind, is de formule die ik niet begreep.

nl. de stelling voor de maximale orde modulo m:

Zij en zij met .

Stel dat .

Zij , dan:
Met als gevolg:
Maar of ik hier iets aan heb weet ik niet.......

Laten we dan weer eerst intuïtief redeneren. Opfrissen: de orde van a is n als en slechts als n de kleinste n is zodat aⁿ = 1 (in je ring, dus rekening houdend met modulo etcetera) én a^n-1 1.

Dan een paar zaken om over na te denken: als a en b orde n hebben. Wat kun je dan zeggen over de orde van a*b? Wat kun je zeggen over de orde van a²? Zie je iets algemener?

Dan een paar zaken om over na te denken: als a en b orde n hebben. Wat kun je dan zeggen over de orde van a*b? Wat kun je zeggen over de orde van a²? Zie je iets algemener?

Nog even een toevoeging die ik was vergeten te melden: de orde n is een priemgetal . Anders zijn er niet veel zinnige uitspraken te doen.

Dan een paar zaken om over na te denken: als a en b orde n hebben. Wat kun je dan zeggen over de orde van a*b? Wat kun je zeggen over de orde van a²? Zie je iets algemener?

Ik kan het me nog niet zo direct voorstellen...

Een element is van orde n, wanneer voor het element a geldt en

1 is een standaardelement dat altijd in een Z-tallig stelsel een eenheid zou zijn.

Maar dit element heeft geen orde. Want aan de 2e regel wordt niet voldaan, want

En wat bedoel je met precies met de orde van a²?

Want ik dacht dat 2 dan juist de orde was?

En gevoelsmatig lijkt het me a*b ook van orde n zijn, mits a,b dat zijn.

1 is een standaardelement dat altijd in een Z-tallig stelsel een eenheid zou zijn.

Wat bedoel je hiermee? 1 is meestal per afspraak de notatie voor een eenheid.

Maar dit element heeft geen orde. Want aan de 2e regel wordt niet voldaan, want

\(1^{n-1}=1\)

En wat bedoel je met precies met de orde van a²?

Want ik dacht dat 2 dan juist de orde was?

Beide vragen doen mij zeggen dat je niet begrepen hebt wat de orde van een element is. Je eerste opmerking: klopt niet. Kijk nog eens naar de definitie van orde. Het is de kleinste n (strikt groter dan 0) zodat... Kun je nu verbeteren?

Je tweede vraag: als 2 de orde zou zijn, zou a²=1 moeten zijn. Maar dat is toch niet (zeker) zo? Ik veronderstel uiteraard het geval dat je orde strikt groter dan 2 is. Anders valt er niets te bekijken. Dus: stel dat je orde n is, met n priem én strikt groter dan 2, wat is dan de orde van a²?

Wat bedoel je hiermee? 1 is meestal per afspraak de notatie voor een eenheid.

Ja ik bedoelde te zeggen omdat 1 een eenheid is, volgt wat ik typte. Maar ik denk dat ik het gewoon verkeerd opvat, maar ik weet nog niet in welke zin.

Drieske schreef:Beide vragen doen mij zeggen dat je niet begrepen hebt wat de orde van een element is. Je eerste opmerking: klopt niet. Kijk nog eens naar de definitie van orde.

Je tweede vraag: als 2 de orde zou zijn, zou a²=1 moeten zijn. Maar dat is toch niet (zeker) zo? Ik veronderstel uiteraard het geval dat je orde strikt groter dan 2 is. Anders valt er niets te bekijken. Dus: stel dat je orde n is, met n priem én strikt groter dan 2, wat is dan de orde van a²?

Ik krijg er niet echt een beeld van, en dat blijkt nu ook wel..

Zou je misschien eens een klein uitgewerkt voorbeeld kunnen geven, met de belangrijke stappen aangegeven.

Dan kan ik van daaruit preciezer aangeven wat me niet duidelijk is.

Het is de kleinste n (strikt groter dan 0) zodat...

Okee. Eerst en vooral: het woord "kleinste" is echt van essentieel belang. Dat blijkt al bij het zoeken van de orde van 1. In eender welke groep je werkt/kijkt/... is de orde van het eenheidselement gelijk aan 1. Vat je dit? Het belang van "kleinste" toont zich hier meteen.

Voor naar de rest te kijken, zullen we eerst dat probleem oplossen.

Drieske schreef:Okee. Eerst en vooral: het woord "kleinste" is echt van essentieel belang. Dat blijkt al bij het zoeken van de orde van 1. In eender welke groep je werkt/kijkt/... is de orde van het eenheidselement gelijk aan 1. Vat je dit? Het belang van "kleinste" toont zich hier meteen.

Voor naar de rest te kijken, zullen we eerst dat probleem oplossen.

Zo met woorden is het nog steeds het probleem dat ik het niet goed in context zie.

Stel bijv; dan kun je 6 definieren als het product, maar zou je zou elementair iets van de orde kunnen laten zien?

Want op dit moment zit ik met met n als orde, en ik weet niet zeker of dat wel correct is.

Jaimy11 schreef:Zo met woorden is het nog steeds het probleem dat ik het niet goed in context zie.

Stel bijv;

\(3*2=6\)

dan kun je 6 definieren als het product, maar zou je zou elementair iets van de orde kunnen laten zien?

Want op dit moment zit ik met

\(a^n=1\)

met n als orde, en ik weet niet zeker of dat wel correct is.

Die 3*2 = 6 heeft niets met orde te maken... Van waar haal je dat idee? Ik weet eerlijk gezegd niet wat je wilt horen. Maar hier een poging. We werken in Z₈,+ (met opzet kies ik niet voor *, dat mag jij doen ). We weten dat in een groep G met bewerking # de notatie gⁿ kort is voor g#g#...#g (en dit n keer). Dan geef ik je nu de orde van elk element.

1: orde 1 want (definitie)

2: orde oneindig (dit betekent dat je op een eindige manier nooit 1 (modulo 8) kunt bekomen). Want, daar 2=2, 2+2 = 4, 2+2+2=6, 2+2+2+2 = 8 = 0, 2+2+2+2+2 = 10 = 2 en je bent weer waar je begon en kunt dus nooit op 1 komen.

3: orde 3. Want 3+3 = 6 en 3+3+3 = 9 = 1.

4: orde oneindig. Idem uitleg als 2.

5: orde ... Weet jij het?

6: orde oneindig. Want 6=6, 6+6 = 12 = 4, 6+6+6 = 18 = 2, 6+6+6+6 = 24 = 0, 6+6+6+6+6 = 30 = 6 en we zijn weer bij het begin.

7: orde oneindig. Kun je het nu zelf uitleggen?

Ik heb een paar puntjes open gelaten. Kun jij aanvullen? Kun je, met deze gegevens, nu de orde geven van de elementen in Z_7,* (met * voor 'maal')?

Die 3*2 = 6 heeft niets met orde te maken... Van waar haal je dat idee?

Nee dat weet ik, ik bedoelde alleen te zeggen dat ik zoiets als elementair voorbeeld bedoelde (simpel).

Drieske schreef:We werken in Z₈,+.

5: orde 5, want 5*5=1

Kun je, met deze gegevens, nu de orde geven van de elementen in Z_7,* (met * voor 'maal')?

De elementen in Z_7,* zijn 1,2,3,4,5,6.

Maar ik heb nog een vraag:

De orde van een element bij Z*, is dat de "n" in ?

De elementen in Z_7,* zijn 1,2,3,4,5,6.

Klopt. Maar dat vroeg ik ook niet. Ik vroeg de orde van de elementen in Z_7.

Maar ik heb nog een vraag:

De orde van een element bij Z*, is dat de "n" in

\(a^n=1\)

?

Hiermee toon je het (nog) niet beet te hebben, vrees ik. Nog even de definitie: Zij G,* een groep met groepsbewerking *. Zij g een willekeurig element in G. We zeggen dat g orde n heeft als n het kleinste natuurlijk getal is, strikt groter dan 0, waarvoor er geldt dat aⁿ = 1 én a^n-1 1.

Hier gebruiken we, per afspraak, de notatie aⁿ voor (a*a*...*a) en dit n keer.

Die '*' heeft dus niets met eenheden ofzo te maken. Het is een groepsbewerking. Dat kan maal zijn, maar ook plus, of nog veel zottere dingen .

En begrijp je de rest van mijn post?