3 van 3
Re: Parallellogram gonio. cirkel
Geplaatst: ma 10 dec 2012, 20:40
door Dominus Temporis
Wil iedereen eens zijn mening geven over deze stelling?
Denken jullie dat dit compleet nutteloos is, of dat het toch iets heeft..?
Re: Parallellogram gonio. cirkel
Geplaatst: ma 10 dec 2012, 21:01
door Safe
Stekelbaarske schreef: ↑ma 10 dec 2012, 20:40
Wil iedereen eens zijn mening geven over deze stelling?
Welke stelling? Eerst netjes formuleren ...
Re: Parallellogram gonio. cirkel
Geplaatst: ma 10 dec 2012, 21:26
door Dominus Temporis
<p>Wanneer men in een goniometrische cirkel een parallellogram construeert door de cosinus van een hoek alpha (die bij voorkeur in het interval ]0;pi/2[ ligt) te verbinden met het beeldpunt van zijn antisupplementaire hoek beta, en diens cosinus verbindt met het beeldpunt van hoek alpha, en elke cosinus verbindt met hun corresponderende hoek, dan is de oppervlakte van dat parallellogram gelijk aan sin(2alpha).
Wel wat vergezocht, niet?
Maar volgens mij goed genoeg? (Ik vrees dat er hier en daar wel een deeltje verkort zou kunnen worden door een term (die ik dus niet ken))
De oppervlakte van een parallellogram in een goniometrische cirkel met hoekpunten: het beeldpunt van een willekeurige hoek alpha; (cos(alpha);0); het beeldpunt van de antisupplementaire hoek van alpha(: beta) en (cos(beta);0) is gelijk aan |sin(2alpha)|.
De oppervlakte van een parallellogram in een goniometrische cirkel met hoekpunten: het beeldpunt van een willekeurige hoek alpha; (0;sin(alpha)); het beeldpunt van de antisupplementaire hoek van alpha(: beta) en (0;sin(beta)) is gelijk aan |sin(2alpha)|.
Dit is beter, niet?
Re: Parallellogram gonio. cirkel
Geplaatst: di 11 dec 2012, 15:36
door Dominus Temporis
Stekelbaarske schreef: ↑ma 10 dec 2012, 21:26
<p>Wanneer men in een goniometrische cirkel een parallellogram construeert door de cosinus van een hoek alpha (die bij voorkeur in het interval ]0;pi/2[ ligt) te verbinden met het beeldpunt van zijn antisupplementaire hoek beta, en diens cosinus verbindt met het beeldpunt van hoek alpha, en elke cosinus verbindt met hun corresponderende hoek, dan is de oppervlakte van dat parallellogram gelijk aan sin(2alpha).
Wel wat vergezocht, niet?
Maar volgens mij goed genoeg? (Ik vrees dat er hier en daar wel een deeltje verkort zou kunnen worden door een term (die ik dus niet ken))
De oppervlakte van een parallellogram in een goniometrische cirkel met
hoekpunten: het
beeldpunt van een willekeurige hoek
alpha; (cos(alpha);0); het
beeldpunt van de
antisupplementaire hoek van alpha(: beta) en
(cos(beta);0) is gelijk aan |sin(2alpha)|.
De oppervlakte van een parallellogram in een goniometrische cirkel met
hoekpunten: het
beeldpunt van een willekeurige hoek
alpha; (0;sin(alpha)); het
beeldpunt van de
antisupplementaire hoek van alpha(: beta) en
(0;sin(beta)) is gelijk aan |sin(2alpha)|.
Dit is beter, niet?
In een goniometrische cirkel geldt dat de parallellogram ABCD die als hoekpunten het beeldpunt van een willekeurige hoek alpha, C(0;sin(alpha)), het beeldpunt B van de antisupplementaire hoek van alpha (beta) en (0;sin(beta)) heeft, een oppervlakte heeft van |sin(2alpha)|.
Misschien net iets duidelijker?
Re: Parallellogram gonio. cirkel
Geplaatst: di 11 dec 2012, 15:58
door Dominus Temporis
heb nog iets gevonden (jammer genoeg hangen er ook weer strenge voorwaarden aan vast):
Gegeven: alpha en beta
het beeldpunt van alpha ligt niet in eenzelfde helft van de goniometrische cirkel als dat van beta
(ligt alpha vb in het 1e kwadrant, dan moet beta in het 3e liggen; alpha in 2e: beta in 4e)
als je dan (cos(beta);0) verbindt met het beeldpunt van alpha, en (cos(alpha;0)) verbindt met het beeldpunt van beta, (en die punten ook nog verbindt met de hoek alpha of beta waarvan ze zelf de cosinus zijn), dan heb je een vierhoek..
de oppervlakte van die vierhoek is cos(alpha + beta)(sin(alpha - beta) + 1)
Re: Parallellogram gonio. cirkel
Geplaatst: di 11 dec 2012, 16:24
door Dominus Temporis
sorry, misrekening: (cos(alpha + beta) * sin(alpha - beta) + sin(beta - alpha))/2
Re: Parallellogram gonio. cirkel
Geplaatst: di 11 dec 2012, 16:35
door Dominus Temporis
ach nee, laat maar..
Re: Parallellogram gonio. cirkel
Geplaatst: wo 12 dec 2012, 13:25
door Dominus Temporis
kunnen die laatste 2 in #33 er als een stelling mee door?
Re: Parallellogram gonio. cirkel
Geplaatst: vr 28 dec 2012, 11:47
door Dominus Temporis
had ik al gezegd dat dit ook geldt als je de sinussen van alpha en beta respectievelijk met B en A verbindt?
dus, nieuwe stelling of leuk weetje??
Re: Parallellogram gonio. cirkel
Geplaatst: vr 28 dec 2012, 12:34
door Dominus Temporis
nog iets leuks: de afstand tussen (0,sin(alpha)) en (cos(beta),0) is 1, ervanuitgaande dat alpha en beta antisupplementair zijn, zodat cos(beta) = -cos(alpha).
Hierbij hoort een verschrikkelijk kort en makkelijk bewijsje, dat al eens gegeven geweest zal zijn..
Re: Parallellogram gonio. cirkel
Geplaatst: vr 28 dec 2012, 13:30
door Drieske
Stekelbaarske schreef: ↑vr 28 dec 2012, 12:34
nog iets leuks: de afstand tussen (0,sin(alpha)) en (cos(beta),0) is 1, ervanuitgaande dat alpha en beta antisupplementair zijn, zodat cos(beta) = -cos(alpha).
Hierbij hoort een verschrikkelijk kort en makkelijk bewijsje, dat al eens gegeven geweest zal zijn..
Dat is inderdaad verschrikkelijk kort en makkelijk
.
Je resultaten staan (misschien) niet letterlijk in een boek (ik heb niet gezocht), maar dat is niet omdat men dit niet "weet" ofzo. Dat is, zoals al eerder werd gezegd, vooral omdat men niet alles wat uit iets volgt ook ergens letterlijk kan neerzetten. Maar dat betekent niet dat het niet goed is dat jij dit zelf kon vinden.
Re: Parallellogram gonio. cirkel
Geplaatst: do 14 feb 2013, 12:07
door Dominus Temporis
sorry, ik kan het niet laten om m'n 500e bericht bij m'n meest plausibele ondervinding te plaatsen
vergeef me
om toch iets in verband met het onderwerp te zeggen: eeh...bedankt, Drieske ^^