sciencetalk

halve hoekformules

Als y = x² dan heb je x = ±√y. Die "±" hoort erbij.

correctie..

(24) is gewoon een differentiaal vergelijking van de eerste orde van het type

\[
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x),
\]

Dat los je op de standaard manier op:

### Stappen om deze vergelijking op te lossen
1. **Bereken de integrerende factor**:
De integrerende factor \( \mu(x) \) wordt gegeven door:
\[
\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx}.
\]

2. **Vermenigvuldig de vergelijking met \( \mu(x) \)**:
Door de hele vergelijking met \( \mu(x) \) te vermenigvuldigen, wordt het linker lid een productregel:
\[
\mu(x) \frac{dy}{dx} + \mu(x) P(x)y = \mu(x) Q(x).
\]

Het linker lid kan worden herschreven als:
\[
\frac{d}{dx} \big( \mu(x)y \big) = \mu(x) Q(x).
\]

3. **Integreer beide zijden**:
Integreer om \( y \) te vinden:
\[
\mu(x)y = \int \mu(x) Q(x) \, dx + C,
\]
waarbij \( C \) een integratieconstante is.

4. **Los \( y \) op**:
Deel door \( \mu(x) \) om de oplossing voor \( y \) te vinden:
\[
y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x) Q(x) \, dx + C \right).
\]

24 klop dit?

Wolfram komt tot

y(x) = c_1 e^(1/2 (-log(1 - x) - log(x))) - (sqrt(-(x - 1) x) sin^(-1)(sqrt(1 - x)))/(2 (x - 1) x) + 1/2

https://www.wolframalpha.com/input?i=2x ... -1%29y%3Dx

Chatgpt lost de differentiaalvergelijking na wat aandringen stapsgewijs op, maar je moet dan alles nog wel wat bij mekaar zetten. Er verschijnt niet direct 1 oplossing. Haar tussenstappen lijken op het eerste gezicht wel allemaal te kloppen, maar er zijn heel veel substituties nodig.

In elk geval een oefening die je met pen en papier niet op 5 minuutjes oplost.
Ik vermoed dat er een truuk is die ik over het hoofd zie. Ik neem aan dat het niet de bedoeling is om zo lang te rekenen.

24 het vorige antwoord was van 25

Opmerkelijk is dat ik nu in Wolfram een andere oplossing krijg dan een paar uur geleden. Nu is het een oplossing met een boogtangens.

Ik kreeg beide oplossingen met Maple.

Bedoelen jullie een boogtangens of een boogtangens hyperbolicus?