Afgeleide van exotische functies

[Phys]

Ik bedoelde inderdaad de functie zelf (dus f(x)=g(x) voor alle x). Maar goed, ik denk niet dat deze afgeleiden van exotische functies ooit van pas komen; het is wel leuke spielerij

[Vladimir Lenin]

Precies, en zo is het met veel van de wiskunde, maar ik denk dat iedereen die zich al eens met wiskunde heeft beziggehouden (uiteraard buiten schoolverband) moet erkennen dat het iets wondermoois is. Maar het gaat mij dan ook niet om het nut van de afgeleiden, maar om de vervollediging van de afgeleidetabellen.

[dtech]

Wat dachten jullie van deze functie die ik laatst nodig had voor een computerprogramma:

\(\[f(x) = \left\{ \begin{array}{l} x \cdot f(x - 1)\quad x \ge 1 \\ - f( - x)\quad x < 0 \\ 1\quad 0 \le x < 1 \\ \end{array} \right.\]\)

Verder dan zoiets kwam ik niet:

\(\[f'(x) = \left\{ \begin{array}{l} x \cdot f'(x - 1) + f(x - 1)\quad x \ge 1 \\ f'( - x)\quad x < 0 \\ 0\quad 0 \le x < 1 \\ \end{array} \right.\]\)

Maar om het goed te doen heb je eigenlijk een directe functie voor f(x) nodig, die ik niet zou weten.

[TD]

Hoezo 'om het goed te doen' en een 'directe functie'?

Een samengesteld voorschrift is ook 'direct' hoor...

[dtech]

Het is een recursieve functie. Met direct bedoelde ik een functie die zichzelf niet aanroept.

[TD]

Vergeet m'n vorige opmerking, ik begrijp wat je bedoelt (en keek daarnet niet goed genoeg).

[Bartjes]

De afgeleide van heel wat functies kent uiteraard iedereen, maar ik heb een nagedacht over enkele andere waarop ik nog steeds het antwoord schuldig moet blijven.

Toegegeven de Sign-functie is gemakkelijk:

\(\frac{d}{dx}sign(x) = 0\)

als je de sign functie immers bekijkt zie je dat de functie steeds horizontaal loopt en alleen verspringt in het punt 0 waar de functie dan ook niet afleidbaar is.

Maar ik vroeg me af hoe je de afgeleide berekent van:

\(\frac{d}{dx}ggd(f(x),g(x))\)

\(\frac{d}{dx}kgv(f(x),g(x))\)

en volgens mij kan je nog tientallen functies bedenken waarbij de afgeleide toch niet zomaar in een standaardboek wiskunde staat. Bij mij in ieder geval niet in "Inleiding tot de Hogere Wiskunde" of "Wiskundig Redeneren"

Voor functies met sprongen kan je ook (in een uitgebreide zin) afgeleiden en primitieven definiëren binnen de theorie van de gegeneraliseerde functies of distributies. Zie:

http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_functions