sciencetalk

descheleschilder schreef: Is a echter niet het beginpunt van de spiraal, in het geval van jouw spiraal dus (x,y)=(128,0), bij θ_min=0, en b=21,4 zodat r=128-21,4θ, waar r bezien wordt vanuit (0,0)? Voor θ_min=0 wordt r_max=128, en voor θ_max=2,234 wordt r_min=89,9.

 
Ja dat kan ook, de straal van de spiraal moet dan aflopen, maar middelpunt spiraal kan in dit geval niet 0,0 zijn het is en blijft 0,50, want alleen van uit dit punt neemt de straal lineair toe of af per hoekverdraaiing.
 
En dat is een kenmerk van een archimedes spiraal.
 
Dat kan je ook zien aan het koord met de cilinder. De raakpunt van het touw aan de cilinder tot de stift neemt lineair af. En dit raakpunt verschuift zich over de straal van 50. waardoor de afstand tot middelpunt dus ook lineair afneemt.
 

descheleschilder schreef:De grote vraag is echter, zoals jij ook al zei, hoe vertaal je dit naar een f(x)?

 
 
Inderdaad maar zoals Safe al terecht had beantwoord, is dat niet mogelijk. Zonder vergelijking uit te voeren.
 
Dus zoek ik nu de mogelijkheid om mijn vraag om te zetten naar een spiraal functie zoals die in tekenprgramma's als Helix (3d) wordt aangeduid. Hoe kantel en spiegel ik de spiraal, zodat deze exact hetzelfde wordt als fuctie van mijn vraagstelling.
 
Waarom ik een spiraal inplaats van de fuctie uit mijn vraagstelling wil, heb ik al uitgelegd in post #42.

Maar is r voor θ_max=2,23(rad) niet gelijk aan r_min=89,9(mm)? Als het middelpunt (0,50) is dan is voor θ_min=0(rad) r=50(mm), maar ook voor θ_max is r=50(mm), gerekend vanuit (0,50). Ook vanuit (0,0), met bijbehorende a=128, kan r lineair afnemen, zoals blijkt uit de formule r=128-21,4θ (voor het lijnstuk (0,0) tot (128,0) is de hoek θ=0).
Wat zie jij als r en θ? En waarom heb je het over een spiegelbeeld?
Het is inderdaad onmogelijk (?) x in y uit te drukken:
y=rsinθ
x=rcosθ
r=√(x²+y²)
θ=tan^-1(x/y)=tan^-1(sinθ/cosθ)=tan^-1((y/r)/(x/r))=tan^-1(y/(√(x²+y²)/(x/√x²+y²)
Vul je deze waarden in in de formule voor r=128-21,4θ, dan loop je vast als je x in y wilt uitdrukken vanwege de tan^-1.

Om de quoute niet te veel op te spitsen, schrijf ik mn antwoorden er in andere kleur tussen:
 

descheleschilder schreef: Maar is r voor θ_max=2,23(rad) niet gelijk aan r_min=89,9(mm)?  Nee want als je meerdere punten neemt zie je dat het verloop per hoekverdraaiing niet lineair loopt. Als het middelpunt (0,50) is dan is voor θ_min=0(rad) r=50(mm) Juist , maar ook voor θ_max is r=50(mm), gerekend vanuit (0,50) Nee niet juist want dat is wat ik noem spiegelbeeld, de hoekverdraaing moet dus (0-t) of (0-θ) zijn wat spiegelend efect geeft. Ook vanuit (0,0), met bijbehorende a=128, kan r lineair afnemen, zoals blijkt uit de formule r=128-21,4θ (voor het lijnstuk (0,0) tot (128,0) is de hoek θ=0). Onjuist; als je de uitkomsten van tussen liggende hoeken berekend.
Wat zie jij als r en θ? En waarom heb je het over een spiegelbeeld? r in spiraal functie is de afstand van brandpunt spiraal to een punt op spiraal, θ = hoek verdraaiing van r v/d spiraal,  spiegelbeeld zie boven en onder (BH-θ)
Het is inderdaad onmogelijk (?) x in y uit te drukken:
y=rsinθ
x=rcosθ
r=√(x²+y²)
θ=tan^-1(x/y)=tan^-1(sinθ/cosθ)=tan^-1((y/r)/(x/r))=tan^-1(y/(√(x²+y²)/(x/√x²+y²)
Vul je deze waarden in in de formule voor r=128-21,4θ, dan loop je vast als je x in y wilt uitdrukken vanwege de tan^-1.

 
We moeten dus de orginele functie voor spiraal-coordinaten gebruiken Daarvoor moeten we eerst de begin en eindhoek vast stellen gezien van uit x=0,y=50
In de formule moeten we dan de beginhoek voor hoekverdaaiing 0π nemen (let wel dat is in de vraag stelling α_max maar nu tov 0,50) Laten we deze voor het gemak BH noemen
Dan nemen we op in de functie dat voor r= 50+(50πθ)
Omgezet geld dan:
BH = π(128 / 50π ) - (π/2) tov x-as(y=50)
Of te wel BH = ± 0.99(rad)
dan:
0 < θ < θ_{max (berekend spiraal snijd en eindigd op 128,0)}
x = (50 + (50 π (BH - θ))) * cos (θ)
y =50+ ((50 + (50 π (BH - θ))) * sin (θ))

Ik had de verkeerde formule voor r gevonden. De juiste moet zijn:
 
r=128-0,22θ, waarin θ in graden wordt gegeven. Gerekend vanuit (0,0) neemt r dan lineair af met de juiste eigenschappen. θ_max is dan 146,7 ((128/50π)180)) graden, met bijbehorende r_min=95,7.

descheleschilder schreef: Ik had de verkeerde formule voor r gevonden. De juiste moet zijn:
 
r=128-0,22θ, waarin θ in graden wordt gegeven. Gerekend vanuit (0,0) neemt r dan lineair af met de juiste eigenschappen. θ_max is dan 146,7 ((128/50π)180)) graden, met bijbehorende r_min=95,7.

 
Dat klopt dus niet want neem dan maar eens resp 10°, 20° , 30°   enz en leg de uitkomst gelijk met die van mijn vraag stelling. Uitkomst is dan alleen gelijk op de beide uiteinden,maar er tussen klopt er niks van. Je kan dus R niet berekenen van uit (0,0) Maar wel van uit (0,50) Omdat daar het brandpunt van spiraal zit

Dom, dom, dom! Ik heb de hoek niet vanuit (0,0) gerekend maar uit (0,50)! Even opnieuw de zaak bekijken en dan nog een keer b bepalen. 

De juiste formule moet zijn: r=128-0,44θ, voor θ tussen 0 en 73 graden (en dus geen 146,7). Aangezien r een lineaire functie van θ is zijn twee punten genoeg om de uitdrukking voor r te bepalen. Maar ja, wat heb jíj daar aan?

descheleschilder schreef: De juiste formule moet zijn: r=128-0,44θ, voor θ tussen 0 en 73 graden (en dus geen 146,7). Aangezien r een lineaire functie van θ is zijn twee punten genoeg om de uitdrukking voor r te bepalen. Maar ja, wat heb jíj daar aan?

 
Nu niets meer, Ik had immers al bepaald dat de vergroting 50π per 180° was.
 
Maar r=128-0,44 klopt dus ook niet, want r max is niet 128 en 0,440 moet zijn 0,872~ per 1°
 
Ook had ik al de formule (x,y) van spiraal al gevonden exact gelijk als de uitkomst vraagstelling.
 
Het enige wat ik dus nog niet heb gevonden is; hoe ik met deze gegevens een exact dezelfde spiraal in acad of ander tekenprogramma kan invoeren.
Maar ook daar kom ik wel uit.
 
In iedergeval heeft deze discussie(en dus jullie antoorden) mij enorm gemotiveerd om de oplossing te blijven zoeken. Thanks.

Dan maak ik ook nog een laatste opmerking:
Ik bekijk de spiraal vanuit (0,0), met als beginwaarde a=r=128. Wat bedoel jij met een brandpunt van een spiraal? Een spiraal draait om (0,0). Voor a=0 is de formule r=bθ. Als r=128-0,44θ begint de spiraal bij x=128 (als θ=0). Vanuit (0,0) gezien is r dan 128 en neemt lineair af. Dus welke waarde je voor a neemt bepaalt waar je r_min (of r_max als b kleiner dan nul is) begint en dan toe- of afneemt (zoals in mijn geval omdat b negatief is). De vergroting van 50π per 180 graden geldt voor r berekend uit (0,50) (is dat volgens jou het brandpunt?), maar vanuit (0,0) neemt r (als b positief zou zijn, met r in (0,128) als startpunt) elk 180 graden met 95,9π toe (95,9 is r_min, de straal van een cirkel met (0,0) als middelpunt).
Je kunt het ook zo zien (uit catawiki): Neem een metalen staaf met daarop een bolletje dat over de staaf kan bewegen. De staaf draait met constante hoeksnelheid om (0,0). Het balletje beweegt met een constante snelheid over de staaf. Bij θ=0 (vanuit (0,0) gezien) wordt bij een constante snelheid van het balletje de straal lineair kleiner, d.w.z. als het balletje naar de oorsprong toe beweegt. In dit geval totdat het balletje bij r_min=128-(0,44x73)=95,9 is. Zou het balletje naar buiten bewegen dan ontstaat een spiraal die begint in (128,0) en r zou elk rondje met 95,9 (cirkel met middelpunt in (0,0) en straal 95,9) toenemen. Hoe snel het balletje beweegt hangt dan Natuurlijk af van de hoeksnelheid van de staaf. Als die bijvoorbeeld draait met 2π(rad/sec) ronddraait, zal de snelheid van het bolletje 2πx95,9 zijn, uitgedrukt in een eenheid die afhankelijk is van de eenheid waarin we de afstanden meten. Als we in mm meten is de snelheid dus 2πx95,9(mm/sec).
Als je r=128-0,44θ in x en y uitdrukt krijg je √(x²+y²)=128-0,44tan^-1(y/x). Hieruit kan je niet opmaken hoe y er als functie van x uitziet. Er blijft altijd die θ in het spel.
Wel, het was in ieder geval een leuke discussie, en ik hoop dat je toch nog tot een bevredigende oplossing komt!
Groetjes, descheleschilder

descheleschilder schreef: Dan maak ik ook nog een laatste opmerking:
Ik bekijk de spiraal vanuit (0,0), met als beginwaarde a=r=128. Wat bedoel jij met een brandpunt van een spiraal? Een spiraal draait om (0,0). Voor a=0 is de formule r=bθ. Als r=128-0,44θ begint de spiraal bij x=128 (als θ=0). Vanuit (0,0) gezien is r dan 128 en neemt lineair af.

 
De spiraal zoals die volgt uit mijn vraag stelling draait niet om (0,0). en neemt daarom ook niet lineair af als je de hoek en straal neemt uit 0,0. Maar wel van uit (0,50) gezien
 
Natuurlijk kan je de spiraal van uit 0,0 uit zetten. Maar dan volgens de functie(x,y)=
Waarbij het einde dan op (x,y) = (128,-50) uitkomt
BH = π(128 / 50π ) - (π/2)
x = (50 + (50 π θ))*  cos (BH - θ)
y = (50 + (50 π θ))*  sin (BH - θ)
 
Hoek in radialen.
 Ps: in post #48 staat HB dus op verkeerde plek in functie, en moet dus zijn:
x = (50 + (50 π θ))*  cos (BH - θ)
y = 50+((50 + (50 π θ))*  sin (BH - θ))

Nou, nog één laatste berichtje dan. Als je als beginpunt (128,0) neemt en als straal van de cirkel met (0,0) als middelpunt 95,9 neemt, kun je weldegelijk een spiraal maken die in (128,0) begint (a wordt in Wikipedia (http://nl.wikipedia.org/wiki/Archimedes-spiraal) ook als beginpunt genoemd). Als je stelt:
r=128+0,38θ, een lineaire functie, (vanwege de straal vanuit (0,0)  moest ik b veranderen en ook r_max(=95,9)) zal bij elke toename van de hoek (de hoek dus vanuit (0,0) naar de spiraal), de straal met een vast getal toenemen, te weten 0,38x2πr_max=229(mm). Bij 4πr_max 458(mm) en zo steeds een toename van 0,38x2πr_max bij een toename van de hoek met 2π. Een spiraal dus. In jouw geval is r=128-0,38θ. 

descheleschilder schreef: Nou, nog één laatste berichtje dan. Als je als beginpunt (128,0) neemt en als straal van de cirkel met (0,0) als middelpunt 95,9 neemt, kun je weldegelijk een spiraal maken die in (128,0) begint (a wordt in Wikipedia (http://nl.wikipedia.org/wiki/Archimedes-spiraal) ook als beginpunt genoemd). Als je stelt:
r=128+0,38θ, een lineaire functie, (vanwege de straal vanuit (0,0)  moest ik b veranderen en ook r_max(=95,9)) zal bij elke toename van de hoek (de hoek dus vanuit (0,0) naar de spiraal), de straal met een vast getal toenemen, te weten 0,38x2πr_max=229(mm). Bij 4πr_max 458(mm) en zo steeds een toename van 0,38x2πr_max bij een toename van de hoek met 2π. Een spiraal dus. In jouw geval is r=128-0,38θ. 

 
Ja natuurlijk kan je dan een spiraal maken. maar die lijkt dan bij lange na niet op het resultaat van mijn vraagstelling.

Nog één allerlaatste keer dan.
De maximum hoek is vanuit (0,50)-(0,0) 146 graden.
Dan is x=50cos56=27,96
           y=50sin56 +50=91,45
Voor de grootte van r_min vanuit (0,0) geldt r=√(27,96²+91,45²)=95,5
Beschouw nu de cirkel met straal 95,5 (r_min). Hieruit is b te berekenen: r_min=128-b73 (de helft van de maximale hoek 146 graden). dus
95,5=128-73b. Dus 32,5=73b. b Is dus 0,44 (de hoeken in mijn formule zijn de helft van die van jou).
Dus met een hoek gerekend vanuit het lijnstuk (0,0)-(128,0) is de vergelijking r=128-0,44θ (θ in graden). En als twee lineaire functies dezelfde twee punten gemeen hebben, zoals het geval, dan zijn zij aan elkaar gelijk.

descheleschilder schreef: Dus met een hoek gerekend vanuit het lijnstuk (0,0)-(128,0) is de vergelijking r=128-0,44θ (θ in graden). En als twee lineaire functies dezelfde twee punten gemeen hebben, zoals het geval, dan zijn zij aan elkaar gelijk.

 
Nee fout. twee punten op dezelfde posities maken nog geen gelijkheid. Zij kruisen elkaar daar slechts.
Zelfs 3 punten gelijk maakt nog geen gelijkheid. Twee verschillende spiralen kunnen zich op meerdere plekken kruisen.
Waarom zet je de spiraal functie niet uit in een grafiek, samen met resultaat van mijn vraagstelling.
Dan kan je namelijk meteen zien wat je fout doet.

Als twee lineaire functies (en r is een lineaire functie), twee punten gemeenschappelijk hebben, dan zijn ze gelijk. Of je twee lineaire functies nu in x en y uitdrukt (in welk geval je twee rechte lijnen krijgt of in r en een hoek doet niet terzake. Als ze één punt gemeenschappelijk hebben snijden zij elkaar. Of twee spiralen met hetzelfde beginpunt elkaar meer dan 1 keer kruisen betwijfel ik. Sterker nog, het is zeker dat ze elkaar maar 1 keer kruisen. Als je voor het beginpunt bijvoorbeeld (0,0) neemt en twee verschillende waarden voor b, zal het enige gemeenschappelijke punt (0,0) zijn.