Re: De schwarzschildmetriek in het xy-vlak
Geplaatst: vr 17 sep 2021, 10:32
Beste Professor,
Ik ben al de hele ochtend uren jouw methode aan het bestuderen. Het werkt echt makkelijker als je zelf ook leert een plotje te maken en jouw resultaten te controleren. Nu moet ik mijn onkunde toepassen op jouw afleidingen om daadwerkelijk bevestiging te krijgen of jouw formule klopt.
Mijn analyse jouw aanpak:
$$\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \left ( \frac{1}{ 1 - \frac{r_s}{r} } \, - \, \frac{1}{2} \frac{- 3 \frac{x^2}{r^2} + 1 }{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \right ) \cdot r_s \frac{R}{r^3} \,\,\,\,\,\,\, (9)$$
Mijn input:
Mijn obervatie:
Volgens mij zou binnen diff. deze formule van jouw \(c(r)\) dienen te zijn. Ik snap niet waar die \(\ln\) vandaan komt (deze formule krijg ik kloppend als ik \(\ln\) door \(\sqrt{}\) vervang).
$$\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial R} \ln \left (\frac{(1 - \frac{r_s}{r})^2}{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \right )$$
Ergens diff. je \(1/R\) naar \(\ln\) mag dat? \(dx\) is niet liniear met \(dR\)?
Ik snap niet wat ik fout doe en snap het niet. Totaal overmeesterd door mijn onkunde.
Volgens mijn simpele ziel is en mijn kennis van GR is \(dt^2\) \((dt)^2\):
$$\frac{\mathrm{d}x^2}{\mathrm{d}t^2} = \frac{(1 - \frac{r_s}{r})^2}{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \cdot c^2 \,\,\,\,\,\,\,\, (6)$$
Is dit niet:
$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \sqrt{\frac{(1 - \frac{r_s}{r})^2}{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \cdot c^2} \,\,\,\,\,\,\,\, (6)$$
Mijn simpele ziel begrijpt het niet. Wellicht zou jou wat onduidelijkheden kunnen geven (als je tijd hebt).
Ik ben al de hele ochtend uren jouw methode aan het bestuderen. Het werkt echt makkelijker als je zelf ook leert een plotje te maken en jouw resultaten te controleren. Nu moet ik mijn onkunde toepassen op jouw afleidingen om daadwerkelijk bevestiging te krijgen of jouw formule klopt.
Mijn analyse jouw aanpak:
$$\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \left ( \frac{1}{ 1 - \frac{r_s}{r} } \, - \, \frac{1}{2} \frac{- 3 \frac{x^2}{r^2} + 1 }{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \right ) \cdot r_s \frac{R}{r^3} \,\,\,\,\,\,\, (9)$$
Mijn input:
Code: Selecteer alles
phi=(1/(1-Rs/r)-0.5*(-3*(x**2/r**2)+1)/((x**2/r**2) *Rs/r +1 -Rs/r))*Rs*R/r**3Code: Selecteer alles
#Open pyplot in separate interactive window
from IPython import get_ipython
get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'qt5')
#https://www.mathpages.com/rr/s8-09/8-09.htm
#https://www.mathpages.com/rr/s6-03/6-03.htm
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import rcParams
rcParams['axes.titlepad'] = 20
widths = [10,10]
heights = [10]
fig= plt.figure(figsize=(20,10))
gs=fig.add_gridspec(1,2,width_ratios=widths, height_ratios=heights)
ax1=fig.add_subplot(gs[0,0])
ax2=fig.add_subplot(gs[0,1])
#Physical constants
M=1.989e30
G=6.67408e-11
c=3e8
R=696340000
#schwarzschild Radius
Rs=4*M*G/c**2
#Function c(r)
def fdphidr1(r,x):
phi=(1/(1-Rs/r)-0.5*(-3*(x**2/r**2)+1)/((x**2/r**2) *Rs/r +1 -Rs/r))*Rs*R/r**3
return phi
y=R
x=np.linspace(-10,10,10000)
x=x*R
r=np.sqrt(y**2+x**2)
#Angular Distribution
dphidr=fdphidr1(r,x)
ax1.plot(x/R,dphidr,color="red", linewidth=0.5, label=r"(9)")
ax1.set_xlabel(r'$x$',fontsize=15)
ax1.set_ylabel(r'$d \phi /dx$',fontsize=15)
#Integrated deflection agngle
deflection=np.cumsum(dphidr)*(x[10]-x[9])
deflection=np.degrees(deflection)*3600
ax2.plot(x/R,deflection,color="red", linewidth=0.5, label=r"(9)")
ax2.set_xlabel(r'$x$',fontsize=15)
ax2.set_ylabel(r'$\int \phi dx$',fontsize=15)
ax1.legend(loc="upper right")
ax2.legend(loc="upper right")
- Er zijn twee pieken.
- Totale deflectiehoek krijg ik niet kloppende.
Volgens mij zou binnen diff. deze formule van jouw \(c(r)\) dienen te zijn. Ik snap niet waar die \(\ln\) vandaan komt (deze formule krijg ik kloppend als ik \(\ln\) door \(\sqrt{}\) vervang).
$$\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial R} \ln \left (\frac{(1 - \frac{r_s}{r})^2}{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \right )$$
Ergens diff. je \(1/R\) naar \(\ln\) mag dat? \(dx\) is niet liniear met \(dR\)?
Ik snap niet wat ik fout doe en snap het niet. Totaal overmeesterd door mijn onkunde.
Volgens mijn simpele ziel is en mijn kennis van GR is \(dt^2\) \((dt)^2\):
$$\frac{\mathrm{d}x^2}{\mathrm{d}t^2} = \frac{(1 - \frac{r_s}{r})^2}{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \cdot c^2 \,\,\,\,\,\,\,\, (6)$$
Is dit niet:
$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \sqrt{\frac{(1 - \frac{r_s}{r})^2}{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \cdot c^2} \,\,\,\,\,\,\,\, (6)$$
Mijn simpele ziel begrijpt het niet. Wellicht zou jou wat onduidelijkheden kunnen geven (als je tijd hebt).
)
