sciencetalk

Esthetisch schreef: ↑ma 28 okt 2013, 00:38
Daarmee bedoel ik dus dat de tabel, en daarmee de waarde A(n), nooit oneindig groot kan zijn. Bij iedere waarde hoort een specifieke tabel, en die is altijd volledig gedefinieerd. De tabel kan daarentegen wel oneindig lang in omvang blijven groeien. Of dat voor zijn bijbehorende waarde A ook geldt, dat is (nog steeds) de vraag.

Dus A(n) is een functie van n, en je zoekt eigenlijk de limiet A van A(n) voor n nadert tot oneindig?

Als die A(n) eindige getallen zijn (eventueel de sommen of limieten van reeksen) dan is:

A(1), A(2), A(3), ... , A(n), ...

een oneindige rij.

Zoek je dan de limiet van die rij? Begrijp ik het zo goed?

Ja, klopt helemaal.

Mooi. Dan moeten we nu nog helder krijgen wat die A(n) precies is.

Alle breuken worden per kolom a,b,c,d,e,.... opgeteld. De waarden per kolom worden vervolgens beurtelings opgeteld en afgetrokken, dus:

A=a-b+c-d+e-...

B=b-c+d-e+...

Voor elke nieuwe rij ontstaat er dus een nieuwe eindwaarde voor A(n). n staat voor het aantal rijen.

Die machten van 2 laat je nog even weg?

Ja klopt

Dan kunnen we volgens mij weer de formules uit berichtje #5 gebruiken, afgezien dan van die machten van 2.

Niet dat daarmee het probleem is opgelost, maar dan heeft het wel een vorm die door wiskundigen begrepen wordt. Hopelijk zijn er hier op het forum mensen die er raad mee weten.

Hoe zou jij die limiet berekenen / bepalen?

Ik kom er niet uit.

O das lekker dan. Hoe pak je het aan? Is er een bepaalde algoritme die je volgt of heb je gewoon een aantal waarden bepaald? Waar loopt het spaak?

Het is met limieten net als met integralen en differentiaalvergelijkingen. Sommige los je in een handomdraai op; voor anderen zijn er trucjes; en nog weer anderen moet je met numerieke methoden (computers) te lijf om althans een indruk van hun gedrag te krijgen.

Nu ben ikzelf geen held in zulke zaken, maar eenvoudig lijkt die limiet me niet. Er zit heel veel lastig rekenwerk aan. Anders had ik 'm ook zelf wel opgelost. Hopelijk kan je er wel iemand anders voor interesseren? Of wellicht is er een (beginnend) programmeur die er een uitdaging in ziet om te bekijken wat A(n) voor zeer grote waarden van n doet?

Ik had een bewijs geformuleerd voor het geval van doorvermenigvuldigen met machten en daar heb ik ook wat posts over geschreven, maar dat ben ik weer kwijt. Het topic liep immers dood. Ik wil er best even voor gaan zitten maar ik kan niks garanderen ben ik bang.

Die kwestie (inclusief doorvermenigvuldigen met machten) is ook nog steeds aan de orde, dus ik zou zeggen kom maar op. Ik ben heel benieuwd, ook wanneer het misschien nog niet helemaal rond inzout zijn.

Zie post #17 voor doorvermenigvuldiging. Bewijs moet ik even opnieuw uitvinden.

Wat is nou eigenlijk de grote gedachte achter dit hele probleem? Waar heeft het mee te maken?

Met inductie valt te bewijzen dat als je doorvermenigvuldigt met machten van n en begint bij 1/n, je ook altijd daar terugkomt (als ik de sommatiemethode goed heb begrepen).

Volgens mij is het net iets anders, namelijk dat het altijd weer terugkomt bij 1/2 ipv 1/n. Hopelijk is dat een schoonheidsfoutje en heeft dat geen invloed op het bewijs?

Als je begint bij een ander getal kun je volgens mij een recursieformule afleiden. Deze is, als ik het goed heb (maar dat moet ik nog controleren) van de vorm: S(n+1) = a(n) . S(n) + b(n) waarin b(n) >0 naar 0 nadert voor n naar oneindig, en a(n) <1 naar 1.

Ik weet niet of ik je goed begrijp, volgens mij benader je het iets anders dan mij. Laat ik even duidelijk zijn over het formuleblad: hoe ik het zie: S(n; i) staat voor de som van alle vakjes binnen een kolom. S(n) staat voor de som van alle sommen S(n; i) (vermenigvuldigd met 2 machten) bij een bepaalde n . i = n, maar i staat voor het aantal rijen, en n staat voor het aantal kolommen. De zoektocht is naar de limiet van S(n) Als ik je goed begrijp wil jij een som gebruiken per rij? Das best slim bedacht eigenlijk. In dat geval geloof ik ook gelijk dat je formule klopt, maar hoe werkt die dan precies?

Ik neem aan dat je met a(n) en b(n) de waarde in het betreffende vakje van de nieuwe rij bedoelt. En dus niet de hele waarde van de kolom, maar slechts de waarde van het nieuwe vakje in die kolom? Dat zal inderdaad wel de manier zijn waarop het moet ja. Alleen zal je dan wel alle kolommen mee moeten nemen en niet alleen (a) en (b) lijkt me. Of bedoel je het toch anders?

Wat is nou eigenlijk de grote gedachte achter dit hele probleem? Waar heeft het mee te maken?

Ik had al een heel verhaal geschreven, maar laat ik het maar concreet houden. Voornaamste en meest directe reden is de hoeveelheid priemgetallen onder elk getal exact te kunnen bepalen. De manier daarvoor is min of meer al beschreven. Nu weet ik best dat zo’n formule niets nieuws is, maar met kleine aanpassingen (zoals de vermenigvuldiging met machten 2) kan je hem misschien ook goed voor andere problemen gebruiken. Zodra ik die ene limiet weet kan ik je alles vertellen over de volgende toepassing, althans als het antwoord het gewenst is, anders laat ik het liever nog even borrelen tot ik wel een juiste manier heb gevonden. Ook om de discussie enigszins gestructureerd te houden… als het antwoord niet bevredigend is doet het hele verhaal wat dat daarna komt er ook niet meer toe.

Ik weet niet of ik hiermee makkelijk convergentie naar 0 aan kan tonen of kan ontkrachten.

Als het je lukt aan te tonen (of op z’n minst aannemelijk te maken) dat de tabel die begint bij 3 (of 1/3), en vermenigvuldigd wordt met machten van 2, naar 0 nadert, dan ben ik je eeuwig dankbaar. Dan kan er een nieuw hoofdstuk aan dit topic worden toegevoegd, en zal het antwoord op je laatste vraag snel genoeg duidelijk worden.