Oplossing: Omdat we hebben te doen met een niet elektrisch geladen en niet roterend zwart gat met massa M en een radiaal invallende steen met rustmassa m mogen we de onderstaande vereenvoudigde schwarzschildmetriek toepassen:
\(\)
\( \mathrm{d}s^2 = (1 - \frac{r_s}{r}) c^2 \mathrm{d} t^2 \, - \, \frac{\mathrm{d} r^2}{ 1 - \frac{r_s}{r}} \,\,\,\,\,\,\,\, (1) \)
\(\)
Met voor tijdachtig gescheiden gebeurtenissen:
\(\)
\( c^2 \mathrm{d}\tau^2 = (1 - \frac{r_s}{r}) c^2 \mathrm{d} t^2 \, - \, \frac{\mathrm{d} r^2}{ 1 - \frac{r_s}{r}} \,\,\,\,\,\,\,\, (2) \)
\(\)
En voor ruimteachtig gescheiden gebeurtenissen:
\(\)
\( \mathrm{d}\sigma^2 = - (1 - \frac{r_s}{r}) c^2 \mathrm{d} t^2 \, + \, \frac{\mathrm{d} r^2}{ 1 - \frac{r_s}{r}} \,\,\,\,\,\,\,\, (3) \)
\(\)
\(\)
We bekijken nu een bolschil met r-coördinaat r (voor r > r
s) en infinitesimale dikte dr. De vallende steen zal dan gemeten door een (oneindig) verre waarnemer een infinitesimaal tijdje dt doen over het passeren van het traject van r naar r-dr. De aldus gemeten snelheid -(dr/dt) noemen we v. Er geldt dan:
\(\)
\( c^2 \mathrm{d}\tau^2 = (1 - \frac{r_s}{r}) \, c^2 \mathrm{d} t^2 \, - \, \frac{\mathrm{d} r^2}{1 - \frac{r_s}{r} } \)
\(\)
\( 1 = (1 - \frac{r_s}{r}) \,\frac{c^2 \mathrm{d} t^2}{ c^2 \mathrm{d}\tau^2 } \, - \, \frac{\mathrm{d} r^2}{ (1 - \frac{r_s}{r}) \,c^2 \mathrm{d}\tau^2 } \)
\(\)
\( 1 = (1 - \frac{r_s}{r}) \,\frac{ \mathrm{d} t^2}{ \mathrm{d}\tau^2 } \, - \, \frac{\mathrm{d} r^2}{ (1 - \frac{r_s}{r}) \,c^2 \mathrm{d}\tau^2 } \)
\(\)
\( 1 = (1 - \frac{r_s}{r}) \,\frac{ \mathrm{d} t^2}{ \mathrm{d}\tau^2 } \, - \, \frac{\mathrm{d} r^2}{ (1 - \frac{r_s}{r}) \,c^2 \mathrm{d}t^2} \frac{\mathrm{d} t^2}{ \mathrm{d}\tau^2 } \)
\(\)
\( 1 = (1 - \frac{r_s}{r}) \,\frac{ \mathrm{d} t^2}{ \mathrm{d}\tau^2 } \, - \, \frac{v^2}{ (1 - \frac{r_s}{r}) \,c^2 } \frac{\mathrm{d} t^2}{ \mathrm{d}\tau^2 } \)
\(\)
\( \frac{1}{1 - \frac{r_s}{r}} = \frac{ \mathrm{d} t^2}{ \mathrm{d}\tau^2 } \, - \, \frac{v^2}{ (1 - \frac{r_s}{r})^2 \,c^2 } \frac{\mathrm{d} t^2}{ \mathrm{d}\tau^2 } \)
\(\)
\( \frac{1}{1 - \frac{r_s}{r}} = \left (1 \, - \, \frac{v^2}{ (1 - \frac{r_s}{r})^2c^2 } \right ) \frac{\mathrm{d} t^2}{ \mathrm{d}\tau^2 } \)
\(\)
\( \frac{1}{ (1 \, - \, \frac{r_s}{r}) \left ( 1 \, - \, \frac{v^2}{ \left (1 - \frac{r_s}{r} \right )^2c^2 } \right )} = \frac{\mathrm{d} t^2}{ \mathrm{d}\tau^2 } \,\,\,\,\,\,\,\, (4) \)
\(\)
Heel ver weg (ideaal gesproken voor r = ∞) geldt dan:
\(\)
\( \frac{1}{ \sqrt{1 \, - \, \frac{v_{\infty}^2}{ c^2 } }} = \frac{\mathrm{d} t}{ \mathrm{d}\tau } \,\,\,\,\,\,\,\, (5) \)
\(\)
Dus heel ver weg geldt eenvoudig de speciaal relativistische tijdsdilatatie.
(
Wordt vervolgd.)
