sciencetalk

Professor Puntje schreef: ↑zo 23 mei 2021, 19:29 Formule 41.4 geeft een benaderde vergelijking in cartesische coördinaten van de lichtbaan:

2 819 keer bekeken

Bron: https://www.gutenberg.org/ebooks/59248

(Kennelijk zijn hier x en y vergeleken met MathPages omgewisseld.)

Professor Puntje schreef: ↑za 05 jun 2021, 14:43 Dit kan met de schwarzschildstraal \( r_s \) van de zon vereenvoudigd worden tot:

\( e_1 = \frac{r_0 - r_s + \sqrt{(r_0 - r_s)(r_0 + 3r_s)}}{2 r_s r_0} \,\,\,\,\,\,\, (1) \)

\(\)

\( e_2 = \frac{1}{r_0} \,\,\,\,\,\,\, (2) \)

\(\)

\( e_3 = \frac{r_0 - r_s - \sqrt{(r_0 - r_s)(r_0 + 3r_s)}}{2 r_s r_0} \,\,\,\,\,\,\, (3) \)

\(\)

\( \tau = \sqrt{ \frac{ r_s (e_1 - e_3)}{ 4 }} \,\,\,\,\,\,\, (4) \)

\(\)

\( h = \sqrt{ \frac{ e_2 - e_3}{ e_1 - e_3 }} \,\,\,\,\,\,\, (5) \)

\(\)

\( r = \frac{1}{ e_3 + (e_2 - e_3) \mathrm{sn}^2( \tau \varphi + \sigma ; h)} \,\,\,\,\,\,\, (6) \)

\(\)

Verder is \( r_0 \) de kleinste afstand r van de lichtbaan tot het centrum van de zon in de gebruikelijke schwarzschildcoördinaten.

Professor Puntje schreef: ↑zo 06 jun 2021, 12:11 Even terug naar:

\(\)

\( r = \frac{1}{ e_3 + (e_2 - e_3) \mathrm{sn}^2( \tau \varphi + \sigma ; h)} \,\,\,\,\,\,\, (6) \)

\(\)

Nu bekijken we de lichtbaan waarvoor r minimaal (d.w.z. r₀) is voor φ = π/2. Dat geeft:

\(\)

\( r_0 = \frac{1}{ e_3 + (e_2 - e_3) \mathrm{sn}^2( \tau \frac{\pi}{2} + \sigma ; h)} \)

\(\)

En wegens (2) dat:

\(\)

\( \frac{1}{e_2} = \frac{1}{ e_3 + (e_2 - e_3) \mathrm{sn}^2( \tau \frac{\pi}{2} + \sigma ; h)} \)

\(\)

\( e_2 = e_3 + (e_2 - e_3) \mathrm{sn}^2( \tau \frac{\pi}{2} + \sigma ; h) \)

\(\)

\( e_2 - e_3 = (e_2 - e_3) \mathrm{sn}^2( \tau \frac{\pi}{2} + \sigma ; h) \)

\(\)

\( \mathrm{sn}^2( \tau \frac{\pi}{2} + \sigma ; h) = 1 \,\,\,\,\,\,\, (9) \)

\(\)

Dus:

\(\)

\( \tau \frac{\pi}{2} + \sigma = \pm 1,57194 \)

\(\)

\( \sigma = -\tau \frac{\pi}{2} \pm 1,57194 \)

\(\)

En wegens (8):

\(\)

\( \sigma = -0,500001 \cdot \frac{\pi}{2} \pm 1,57194 \)

\(\)

\( \sigma = -0,78540 \pm 1,57194 \)

\(\)

Nu nog zien welke daarvan voldoet...

Professor Puntje schreef: ↑zo 06 jun 2021, 19:32 jacobi.png

Bron: https://mathworld.wolfram.com/JacobiEll ... tions.html

Hieruit leren we dat:

\(\)

\( \mathrm{sn}(u + 2 m K + 2 n i K' , k ) = (-1)^m \mathrm{sn}(u,k) \)

\(\)

\( (\mathrm{sn}(u + 2 m K + 2 n i K' , k ))^2 = ((-1)^m \mathrm{sn}(u,k))^2 \)

\(\)

\( \mathrm{sn}^2(u + 2 m K + 2 n i K' , k ) = \mathrm{sn}^2(u,k) \)

\(\)

Dus voor reële argumenten u heeft \( \mathrm{sn}^2(u,k) \) een periode 2K. Dit zelfde geldt dan wegens (6) ook voor r(φ).

OOOVincentOOO schreef: ↑zo 06 jun 2021, 19:59 Ik ben jouw herleiding nagegaan voor \(\sigma\) en snap jouw gedachten gang. Tevens kan ik jouw grafiek ook reproduceren.

Echter als ik de deflektie uitreken kom ik vele orden groter dan verwacht. Uit jouw grafiek komt ik uit op: 0.0014 rad (halve hoek). Men zou moeten verwachten 0.9 arc seconde. Wat bereken jij voor een deflectie?

Professor Puntje schreef: ↑zo 06 jun 2021, 23:31 Wat afgezien van k en m het probleem zou kunnen zijn is dat r₀ en r_s wat orde van grootte betreft zeer veel verschillen, maar in (1) en (3) worden ze opgeteld en afgetrokken. Om dat preciezer te kunnen doen hebben we (veel) meer cijfers achter de komma nodig dan nu is toegepast. Dat zou de fout in afbuiging veroorzaakt kunnen hebben.

rs=2.95e3
r0=7.0e8

print(f"rs: {rs:.30f}")
print(f"r0: {r0:.30f}")
print(f"rs-r0: {rs-r0:.30f}")
print(f"r0-s0: {r0-rs:.30f}")

print(f"1/10: {1/10:.30f}")

rs: 2950.000000000000000000000000000000
r0: 700000000.000000000000000000000000000000
rs-r0: -699997050.000000000000000000000000000000
r0-s0: 699997050.000000000000000000000000000000
1/10: 0.100000000000000005551115123126